Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng - Toán 12 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Trong thực tế, có nhiều hiện tượng mà kết quả của một phép thử chỉ có thể là một trong hai khả năng: thành công hoặc thất bại. Ví dụ, tung một đồng xu, kiểm tra một sản phẩm có đạt tiêu chuẩn hay không, v.v. Nếu thực hiện một dãy n phép thử độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công là p (và do đó xác suất thất bại là 1-p), thì số lần thành công trong n phép thử là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức, ký hiệu là X ~ B(n, p).

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố nhị thức nếu nó nhận các giá trị 0, 1, 2, ..., n với xác suất:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1-p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó:

• C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng n! / (k! * (n-k)!)
• p là xác suất thành công trong một phép thử
• n là số phép thử

2. Các tính chất của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có một số tính chất quan trọng:

• Giá trị kỳ vọng: E(X) = n * p
• Phương sai: Var(X) = n * p * (1-p)
• Độ lệch chuẩn: σ(X) = √(n * p * (1-p))

Những tính chất này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về xu hướng và độ phân tán của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

3. Ứng dụng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc mới.
• Khảo sát dư luận: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
• Thống kê kinh tế: Phân tích xu hướng tiêu dùng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người bắn 5 phát súng vào một mục tiêu. Giả sử xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi phát súng là 0.8. Tính xác suất người đó bắn trúng mục tiêu đúng 3 phát.

Giải:

Gọi X là số phát súng trúng mục tiêu. X ~ B(5, 0.8). Ta cần tính P(X = 3).

P(X = 3) = C₅³ * (0.8)³ * (0.2)² = 10 * 0.512 * 0.04 = 0.2048

Vậy xác suất người đó bắn trúng mục tiêu đúng 3 phát là 0.2048.

5. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 10 bóng đèn, trong đó có 3 bóng bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất có đúng 1 bóng bị hỏng.
2. Một cuộc khảo sát được thực hiện trên 100 người. Giả sử 60% số người được khảo sát ủng hộ một chính sách mới. Tính xác suất có đúng 55 người ủng hộ chính sách mới.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và các ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!