Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài 2.15 này ngay dưới đây!
Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn \(\theta \) lớn nhất)?
Đề bài
Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn \(\theta \) lớn nhất)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.
Lời giải chi tiết
Đặt AC = x (m) ta có \(CD = \sqrt {{x^2} + 9} \), \(BC = \sqrt {{x^2} + 49} \)
Ta có: \(\sin B = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}\)
Xét tam giác BDC có:
\(\frac{{CD}}{{\sin B}} = \frac{{BD}}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 49} }}}} = \frac{4}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }}\)
Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn \(\theta \) lớn nhất.
Xét hàm số \(y = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 49} .\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }},x > 0\)
Ta có: \(y' = \frac{{ - 4{x^4} + 1764}}{{\left( {{x^4} + 58{x^2} + 441} \right)\sqrt {{x^4} + 58{x^2} + 441} }} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {21} \approx 4,58\)
Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.
Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Trong bài toán này, hàm số có thể là biểu thức tính diện tích, chi phí, lợi nhuận, hoặc bất kỳ đại lượng nào khác mà bài toán yêu cầu.
Xác định tập xác định của hàm số là bước quan trọng để đảm bảo rằng các giá trị của biến số nằm trong phạm vi cho phép. Tập xác định có thể bị giới hạn bởi các điều kiện thực tế của bài toán.
Tính đạo hàm cấp một của hàm số để tìm các điểm cực trị. Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm nhất định.
Giải phương trình đạo hàm cấp một bằng 0 để tìm các điểm cực trị. Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ.
Xét dấu đạo hàm cấp một trên các khoảng xác định để xác định tính đơn điệu của hàm số. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Dựa vào các điểm cực trị và tính đơn điệu của hàm số, xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định. Lưu ý rằng giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm cực trị hoặc tại các điểm biên của tập xác định.
(Phần này sẽ chứa lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải cụ thể, các phép tính và giải thích rõ ràng. Ví dụ:)
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích cố định sao cho chu vi nhỏ nhất. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x và y. Ta có:
Từ diện tích, ta có y = A/x. Thay vào chu vi, ta được P = 2(x + A/x). Đạo hàm P theo x, ta có P' = 2(1 - A/x^2). Giải phương trình P' = 0, ta được x = sqrt(A). Khi đó, y = A/sqrt(A) = sqrt(A). Vậy, mảnh đất hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất khi là hình vuông với cạnh bằng sqrt(A).
Ngoài bài 2.15, chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức còn có nhiều bài tập tương tự liên quan đến việc tối ưu hóa. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định. Để giải các bài tập này, bạn có thể áp dụng các bước tương tự như đã trình bày ở trên.
Bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
