Giải bài 3.8 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 3.8 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3.8 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh khảo sát hàm số bậc ba và xác định các điểm cực trị. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số bậc ba thường có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
2. Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
3. Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0: Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ của các điểm cực trị.
4. Xác định dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định: Việc này giúp chúng ta xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
5. Tính đạo hàm bậc hai: Đạo hàm bậc hai giúp chúng ta xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hay cực tiểu).
6. Xác định dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm cực trị: Nếu đạo hàm bậc hai dương tại một điểm, điểm đó là cực tiểu. Nếu đạo hàm bậc hai âm tại một điểm, điểm đó là cực đại.
7. Vẽ bảng biến thiên: Bảng biến thiên giúp chúng ta tóm tắt các thông tin về hàm số, bao gồm tập xác định, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và giới hạn.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x³ - 3x² + 2

1. Tập xác định: R
2. Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x² - 6x
3. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Xác định dấu của f'(x):
   • Khi x < 0: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
   • Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
   • Khi x > 2: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
5. Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
6. Xác định dấu của f''(x) tại x = 0 và x = 2:
   • f''(0) = -6 < 0 (x = 0 là điểm cực đại)
   • f''(2) = 6 > 0 (x = 2 là điểm cực tiểu)

Vậy hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 có điểm cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và điểm cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, bạn cần chú ý đến các bước thực hiện và đảm bảo tính chính xác của các phép tính. Việc vẽ bảng biến thiên cũng rất quan trọng để có cái nhìn tổng quan về hàm số.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
• Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.

Tổng kết

Bài 3.8 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.