Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề này tập trung vào việc giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc, các loại biến ngẫu nhiên rời rạc phổ biến và các số đặc trưng quan trọng của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, v.v.

2. Các loại biến ngẫu nhiên rời rạc phổ biến

Biến ngẫu nhiên Bernoulli: Chỉ nhận hai giá trị: 0 (thất bại) và 1 (thành công).
Biến ngẫu nhiên nhị thức: Biến ngẫu nhiên đếm số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công p.
Biến ngẫu nhiên Poisson: Biến ngẫu nhiên đếm số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian nhất định.

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Các số đặc trưng quan trọng của biến ngẫu nhiên rời rạc bao gồm:

Kỳ vọng toán học (E(X)): Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên.
Phương sai (Var(X)): Độ đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học.
Độ lệch chuẩn (SD(X)): Căn bậc hai của phương sai.

4. Công thức tính toán các số đặc trưng

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x₁, x₂, ..., x_n với các xác suất tương ứng p₁, p₂, ..., p_n.

Kỳ vọng toán học: E(X) = Σ(x_i * p_i)

Phương sai: Var(X) = Σ((x_i - E(X))² * p_i)

Độ lệch chuẩn: SD(X) = √Var(X)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Hãy tính kỳ vọng toán học và phương sai của X.

Giải:

X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

P(X=0) = C(2,2) / C(5,2) = 1/10

P(X=1) = C(3,1) * C(2,1) / C(5,2) = 6/10

P(X=2) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

E(X) = 0 * (1/10) + 1 * (6/10) + 2 * (3/10) = 1.2

Var(X) = (0 - 1.2)² * (1/10) + (1 - 1.2)² * (6/10) + (2 - 1.2)² * (3/10) = 0.36