Chuyên đề 2. Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu

Chuyên đề 2: Ứng dụng Toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu - Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề 2 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức là một phần quan trọng, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán tối ưu. Đây là một kỹ năng cần thiết không chỉ trong học tập mà còn trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống.

1. Giới thiệu chung về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số nào đó trong một miền xác định. Các bài toán tối ưu thường xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, khoa học tự nhiên,…

2. Các phương pháp giải bài toán tối ưu

Có nhiều phương pháp để giải bài toán tối ưu, tùy thuộc vào dạng bài toán cụ thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp đại số: Sử dụng các bất đẳng thức, phương trình để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Phương pháp hình học: Sử dụng các tính chất hình học để giải bài toán.
• Phương pháp sử dụng đạo hàm: Tìm điểm cực trị của hàm số để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Phương pháp quy hoạch tuyến tính: Giải bài toán tối ưu với các ràng buộc tuyến tính.

3. Ứng dụng của bài toán tối ưu trong thực tế

Bài toán tối ưu có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong kinh tế: Tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí sản xuất, giá cả,…
• Trong kỹ thuật: Tối ưu hóa thiết kế, hiệu suất, độ bền,…
• Trong khoa học tự nhiên: Tối ưu hóa các quá trình, phản ứng,…

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một khu vườn hình chữ nhật. Hỏi khu vườn đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Ta có chu vi khu vườn là 2(x+y) = 100, suy ra x+y = 50. Diện tích khu vườn là S = xy. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của S. Từ x+y = 50, ta có y = 50-x. Thay vào S = x(50-x) = 50x - x². Đạo hàm S theo x, ta được S' = 50 - 2x. Cho S' = 0, ta có x = 25. Khi đó y = 50-25 = 25. Vậy diện tích lớn nhất của khu vườn là S = 25*25 = 625 m².

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 5.

Giải: Ta có f'(x) = 2x - 4. Cho f'(x) = 0, ta có x = 2. f''(x) = 2 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f(2) = 2² - 4*2 + 5 = 1.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể làm các bài tập sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² + 2x + 3.
3. Một người có 200m vải để may áo sơ mi và quần. Mỗi áo sơ mi cần 2m vải, mỗi quần cần 1.5m vải. Hỏi người đó có thể may được nhiều nhất bao nhiêu áo sơ mi và quần?

6. Kết luận

Chuyên đề 2 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về bài toán tối ưu và các phương pháp giải. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu trong học tập và cuộc sống.

Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức. Chúc các em học tập tốt!