Bài 5. Phép quay

Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các đối xứng và các phép biến đổi hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép quay trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

1. Định nghĩa phép quay

Trong mặt phẳng, phép quay Q(O, k) quanh điểm O với góc k (đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc xOM = k + xOM’.

• O là tâm quay.
• k là góc quay.

Phép quay Q(O, k) được xác định đầy đủ khi biết tâm quay O và góc quay k.

2. Tính chất của phép quay

1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
2. Phép quay bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
3. Phép quay biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
4. Phép quay biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Cho điểm M(x, y) và tâm quay O(0, 0). Khi đó, tọa độ điểm M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép quay Q(O, k) được tính bởi:

x’ = xcos(k) - ysin(k)

y’ = xsin(k) + ycos(k)

Trong trường hợp tâm quay không phải là gốc tọa độ, ta cần tịnh tiến hệ tọa độ về tâm quay trước khi áp dụng công thức trên.

4. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài tập tìm ảnh của điểm qua phép quay: Yêu cầu tìm tọa độ điểm M’ sau khi thực hiện phép quay Q(O, k) trên điểm M.
• Bài tập tìm tâm quay và góc quay: Cho hai điểm M và M’, tìm tâm quay O và góc quay k sao cho M’ là ảnh của M qua phép quay Q(O, k).
• Bài tập chứng minh tính chất hình học: Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất liên quan đến đối xứng, song song, vuông góc,…
• Bài tập ứng dụng phép quay vào giải toán: Áp dụng phép quay để giải các bài toán hình học phức tạp.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2, 1). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay Q(O, 90°) với O là gốc tọa độ.

Giải:

x’ = 2cos(90°) - 1sin(90°) = -1

y’ = 2sin(90°) + 1cos(90°) = 2

Vậy A’(-1, 2).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh rằng BD = CD.

Giải:

Gọi O là giao điểm của AD và BC. Khi đó, BC là đường trung trực của AD. Phép quay Q(O, 180°) biến A thành D. Do đó, AB biến thành DB và AC biến thành DC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB = AC. Suy ra DB = DC.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép quay, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hãy truy cập trang web của chúng tôi để bắt đầu luyện tập ngay hôm nay!

7. Kết luận

Bài học về phép quay là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép quay sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em tự tin hơn trong việc học tập.