Bài 7. Phép đồng dạng

Bài 7. Phép đồng dạng - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu M' = f(M) và N' = f(N) thì M'N' / MN = k, với k là một hằng số dương gọi là tỷ số đồng dạng.

2. Các loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng cơ bản:

Phép vị tự: Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M' sao cho M' = V_O(k)(M), trong đó O là tâm vị tự và k là tỷ số vị tự.
Phép đồng dạng có dạng: Là phép biến hình có thể được thực hiện bằng cách thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép đối xứng.

3. Tính chất của phép đồng dạng

Phép đồng dạng bảo toàn:

Đường thẳng
Góc
Khoảng cách (sau khi nhân với tỷ số đồng dạng)
Diện tích (sau khi nhân với bình phương tỷ số đồng dạng)
Thể tích (sau khi nhân với lập phương tỷ số đồng dạng)

4. Ma trận của phép đồng dạng

Một phép đồng dạng trong mặt phẳng có thể được biểu diễn bằng một ma trận 2x2. Ma trận này chứa thông tin về tỷ số đồng dạng và các phép biến hình liên quan.

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Bản đồ: Tạo bản đồ thu nhỏ hoặc phóng to của một khu vực.
Thiết kế: Tạo các mô hình thu nhỏ của các sản phẩm.
Nghệ thuật: Tạo ra các tác phẩm nghệ thuật có tỷ lệ khác nhau.
Kiến trúc: Thiết kế các tòa nhà có tỷ lệ hài hòa.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;4), C(5;1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0;0) với tỷ số k = 2.

Giải:

A' = V_O(2)(A) = (2;4)
B' = V_O(2)(B) = (6;8)
C' = V_O(2)(C) = (10;2)

Vậy, ảnh của tam giác ABC là tam giác A'B'C' với A'(2;4), B'(6;8), C'(10;2).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có dạng: thực hiện phép đối xứng qua trục Ox, sau đó thực hiện phép vị tự tâm O(0;0) với tỷ số k = -1.

Giải:

Phép đối xứng qua trục Ox biến đường thẳng d thành đường thẳng d': x - y - 1 = 0.

Phép vị tự tâm O(0;0) với tỷ số k = -1 biến đường thẳng d' thành đường thẳng d'': -x + y - 1 = 0, hay x - y + 1 = 0.

Vậy, ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d'' với phương trình x - y + 1 = 0.

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép đồng dạng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đồng dạng. Chúc bạn học tập tốt!