bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số trong chương trình Giải tích 12

Bài viết này tập trung vào phương pháp giải các bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số, đặc biệt là các hàm số chứa tham số. Đây là một dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra Giải tích. Việc nắm vững phương pháp giải quyết các bài toán này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích toán học.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Đối với bài toán chứa tham số, việc tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận hoặc biện luận số lượng tiệm cận đòi hỏi một quy trình giải quyết bài toán chặt chẽ. Dưới đây là các bước thực hiện thường được áp dụng:

1. Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số không suy biến. Bước này nhằm xác định các giá trị của tham số khiến hàm số trở thành hàm hằng hoặc không xác định, từ đó loại trừ các trường hợp không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Bước 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Dựa vào định nghĩa và các quy tắc tìm tiệm cận (tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên), ta xác định phương trình của các đường tiệm cận.
3. Bước 3: Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số. Sử dụng các thông tin đã cho trong bài toán (ví dụ: tiệm cận đi qua một điểm cho trước, số lượng tiệm cận thỏa mãn một điều kiện nào đó) để thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình chứa tham số. Giải phương trình hoặc hệ phương trình này để tìm ra giá trị của tham số.
4. Bước 4: Kết luận. Kiểm tra lại các giá trị tham số tìm được để đảm bảo chúng thỏa mãn các điều kiện đã xác định ở bước 1 và bước 2. Kết luận về giá trị của tham số và các đường tiệm cận tương ứng.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Để làm rõ phương pháp giải, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{(2m + 1)x + 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đi qua điểm \(A( – 2;7).\)

Giải:

• Nếu \(m = 1\), hàm số trở thành \(y = \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} = 3\), không có tiệm cận. Do đó, \(m \neq 1\).
• Với \(m \neq 1\), đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -1\) và tiệm cận ngang \(y = 2m + 1\).
• Để tiệm cận ngang đi qua điểm \(A(-2;7)\), ta có \(7 = 2m + 1 \Leftrightarrow m = 3\).
• Vậy, \(m = 3\) là điều kiện cần tìm.

Ví dụ 2. Tìm hai số \(a\), \(b\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(4a – b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b – 12}}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận.

Giải:

• Tiệm cận ngang là trục hoành khi \(\lim_{x \to \pm \infty} y = 0 \Leftrightarrow 4a – b = 0\).
• Tiệm cận đứng là trục tung khi \(x = 0\) là nghiệm của mẫu số, tức là \(b – 12 = 0 \Leftrightarrow b = 12\).
• Từ \(4a – b = 0\) và \(b = 12\), ta có \(4a = 12 \Leftrightarrow a = 3\).
• Vậy, \(a = 3\) và \(b = 12\).

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang.

Giải:

• Nếu \(m = 0\), hàm số trở thành \(y = x + 1\), không có tiệm cận ngang.
• Nếu \(m < 0\), tập xác định của hàm số là một khoảng giới hạn, do đó không có tiệm cận ngang.
• Nếu \(m > 0\), tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\). Khi đó:
  • \(\lim_{x \to +\infty} y = \frac{1}{\sqrt{m}}\)
  • \(\lim_{x \to -\infty} y = -\frac{1}{\sqrt{m}}\)
  Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{\sqrt{m}}\) và \(y = -\frac{1}{\sqrt{m}}\) khi \(m > 0\).

Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{2mx – 3}}{{x + m}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\)?

Giải:

• Tiệm cận ngang của hàm số là \(y = 2m\).
• Để \(y = 2\), ta có \(2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\).

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{mx – 1}}\) không có tiệm cận đứng.

Giải:

• Hàm số không có tiệm cận đứng khi mẫu số \(mx – 1\) không có nghiệm hoặc \(mx – 1 = 0\) có nghiệm \(x = 3\).
• Trường hợp 1: \(m = 0\), khi đó hàm số trở thành \(y = \frac{x-3}{-1} = 3-x\), không có tiệm cận đứng.
• Trường hợp 2: \(mx – 1 = 0\) có nghiệm \(x = 3 \Leftrightarrow 3m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\).
• Vậy, \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{1}{3}\).

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Hy vọng bài viết này sẽ cung cấp cho bạn đọc một cái nhìn tổng quan và chi tiết về phương pháp giải bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số. Chúc các bạn học tập tốt!