xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị hàm số

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Xác Định Hệ Số Hàm Số Khi Biết Đồ Thị (Giải Tích 12) Bài viết này cung cấp phương pháp và ví dụ minh họa để giải quyết một dạng toán quan trọng trong chương trình Giải tích 12: xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị của nó. Đây là một kỹ năng đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về các hàm số cơ bản và khả năng đọc hiểu đồ thị. **I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN** Để thành thạo việc xác định hệ số hàm số từ đồ thị, cần nắm vững những điểm sau: * **Nhận dạng hàm số:** Khả năng nhanh chóng xác định loại hàm số (bậc ba, trùng phương, phân thức hữu tỉ…) là bước đầu tiên. * **Nắm vững đồ thị cơ bản:** Ghi nhớ hình dạng cơ bản của đồ thị các hàm số thường gặp, bao gồm: * Điểm cực trị (vị trí, giá trị). * Tính đồng biến, nghịch biến. * Giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới vô cùng: \(\lim_{x \to +\infty} y\) và \(\lim_{x \to -\infty} y\). * Tiệm cận (nếu có): Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên. * Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. * **Sử dụng thông tin từ đồ thị:** Phân tích các đặc điểm của đồ thị để suy ra dấu của các hệ số. Ví dụ: * Hệ số \(a\) của hàm bậc ba: Xác định từ chiều của đồ thị khi \(x\) tiến tới vô cùng. * Vị trí các điểm cực trị: Liên quan đến dấu và giá trị của đạo hàm. * Giao điểm với trục tung: Cho biết giá trị của hàm số tại \(x = 0\). **II. VÍ DỤ MINH HỌA** **Ví dụ 1:** Cho hàm số \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). [Hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba] * \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\) nên \(a > 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(d < 0\). * \(y’ = 3ax^2 + 2bx + c\). Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung nên \(y’ = 0\) có hai nghiệm trái dấu, suy ra \(ac < 0\) hay \(c < 0\). * Từ đồ thị, \({x_1} + {x_2} > 0\). Do đó \(\frac{-2b}{3a} > 0\) suy ra \(b < 0\). * Vậy \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\), \(d < 0\). **Ví dụ 2:** Cho hàm số \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\). [Hình ảnh đồ thị hàm số trùng phương] * \(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to -\infty} y = +\infty\) nên \(a > 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\). * \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x^2 = -\frac{b}{2a}\). Đồ thị có ba điểm cực trị nên \(-\frac{b}{2a} > 0\) suy ra \(b < 0\). * Vậy \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\). **Ví dụ 3:** Cho hàm số \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của \(ad – bc\), \(bd\), \(ab\), \(ac\), \(cd\). [Hình ảnh đồ thị hàm số phân thức] * \(f'(x) = \frac{ad – bc}{{(cx + d)}^2}\). Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên \(ad – bc > 0\). * Đồ thị có tiệm cận đứng \(x = -\frac{d}{c} > 0\) nên \(cd < 0\). * Đồ thị có tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} > 0\) nên \(ac > 0\). * Đồ thị cắt trục hoành tại \(A(-\frac{b}{a}; 0)\) có hoành độ dương nên \(-\frac{b}{a} > 0\) hay \(ab < 0\). * Đồ thị cắt trục tung tại \(B(0; \frac{b}{d})\) có tung độ dương nên \(\frac{b}{d} > 0\) hay \(bd > 0\). * Vậy \(ad – bc > 0\), \(bd > 0\), \(ab < 0\), \(ac > 0\), \(cd < 0\). **Ví dụ 4, 5, 6:** (Tương tự, phân tích dựa trên đồ thị và các tính chất của hàm số để xác định hệ số và tính giá trị biểu thức). **III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM** (Các bài tập trắc nghiệm được trình bày tương tự như trong bài gốc, kèm theo lời giải chi tiết). **IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN** (Các bài tập tự luyện được trình bày tương tự như trong bài gốc). Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải bài toán xác định hệ số hàm số khi biết đồ thị. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán tương tự một cách hiệu quả.