điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

Bài viết này hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán thường gặp liên quan đến điểm đặc biệt của đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12. Nội dung tập trung vào việc xác định và ứng dụng các tính chất của đồ thị hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.

I. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Điểm cố định của họ đồ thị hàm số.

1. Phương pháp

Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f(x;m)\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là điểm cố định của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) nếu \(f\left( {{x_0};m} \right) = {y_0}\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

Cách xác định điểm cố định của đồ thị hàm số:

• Bước 1: Biến đổi hàm số \(y = f(x;m)\) về phương trình theo ẩn \(m\) dạng: \({f_n}(x;y){m^n} + \ldots + {f_1}(x;y)m + {f_0}(x;y) = 0\) (1).
• Bước 2: Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(m \in R\) khi và chỉ khi:
  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{f_n}(x;y) = 0}\\ \cdots \\ {{f_1}(x;y) = 0}\\ {{f_0}(x;y) = 0} \end{array}} \right.\) (I).
• Nghiệm \((x;y)\) của hệ phương trình (I) là tọa độ điểm cố định của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\).
• Nếu hệ phương trình (I) vô nghiệm thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) không có điểm cố định.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = m{x^3} + (2 – 3m)x + 2m – 1\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm những điểm cố định mà \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua.

Biến đổi hàm số về phương trình theo ẩn \(m\), ta được: \(y = m{x^3} + (2 – 3m)x + 2m – 1 \Leftrightarrow \left( {{x^3} – 3x + 2} \right)m + 2x – y – 1 = 0\). Phương trình trên nghiệm đúng với mọi giá trị \(m \in R\) khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} – 3x + 2 = 0}\\ {2x – y – 1 = 0} \end{array}} \right..\) Giải hệ phương trình trên, ta được nghiệm \((x;y)\) là \((1;1)\) và \((-2;-5)\). Vậy đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A(1;1)\) và \(B(-2;-5)\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 2m – 1}}{{x + m}}\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Biết rằng \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Viết phương trình của đường thẳng đó.

Phân tích: Với bài toán này, ta có nhận định đường thẳng cố định tiếp xúc với đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại một điểm cố định. Ta sẽ đi tìm điểm cố định này và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó để kiểm chứng.

Điều kiện: \(x \ne – m\). Biến đổi hàm số về phương trình theo ẩn \(m\) ta được: \(y = \frac{{mx + 2m – 1}}{{x + m}} \Leftrightarrow (x – y + 2)m – xy – 1 = 0\). Phương trình trên nghiệm đúng với mọi giá trị \(m\) khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y + 2 = 0}\\ { – xy – 1 = 0} \end{array}} \right..\) Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm \((x;y)\) là \((-1;1)\). Khi đó \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(M(-1;1)\). Mặt khác \(y’ = \frac{{{{(m – 1)}^2}}}{{{{(x + m)}^2}}}\) \(\Rightarrow y'( – 1) = 1\). Suy ra đường thẳng tiếp xúc với \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm \(M\) có phương trình \(y = (x + 1) + 1\) hay \(y = x + 2\).

Dạng 2. Điểm đối xứng của đồ thị hàm số.

1. Phương pháp

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\).

a) Hai điểm \(A\), \(B\) nằm trên đồ thị \((C)\) đối xứng nhau qua điểm \(I(a;b)\) cho trước.

• Cách 1:
  • Bước 1: Giả sử A\left(x_{0} ; y_{0}\right) nằm trên đồ thị \((C)\), từ giả thiết \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có tọa độ điểm B\left(2 a-x_{0} ; 2 b-y_{0}\right).
  • Bước 2: Điểm \(B\) nằm trên đồ thị \((C)\) nên ta có: \(2b – {y_0} = f\left( {2a – {x_0}} \right)\).
  • Giải hệ phương trình trên, ta tìm được \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
  • Từ đó xác định được tọa độ điểm \(A\) và \(B\).
• Cách 2: Giả sử \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) nằm trên đồ thị \((C)\). Khi đó tọa độ \(A\), \(B\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} + {x_2} = 2a}\\ {{y_1} + {y_2} = 2b} \end{array}} \right..\) Giải hệ phương trình trên, kết hợp định lí Vi ét đảo, ta xác định được tọa độ điểm \(A\) và \(B\).

b) Hai điểm \(A\), \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta :y = ax + b\) cho trước.

• Cách 1:
  • Bước 1: Gọi \(d\) là đường thẳng vuông góc với \(\Delta \).
  • Khi đó đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y = – \frac{1}{a}x + m\).
  • Bước 2: Tìm điều kiện của \(m\) để \(d\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\). Khi đó \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).
  • Bước 3: Hai điểm \(A\), \(B\) đối xứng nhau qua \(\Delta \) khi trung điểm của \(AB\) nằm trên \(\Delta \) hay \(\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = a\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + b\).
  • Kết hợp định lí Vi ét và giải phương trình trên, ta tìm được tọa độ của \(A\) và \(B\).
• Cách 2: Giả sử \(A\), \(B\) nằm trên đồ thị \((C)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).
• Khi đó \(A\), \(B\) đối xứng nhau qua \(\Delta \) khi và chỉ khi \(I \in \Delta \) và \(AB \bot \Delta \).
• Từ đó ta tìm được tọa độ của \(A\) và \(B\).

Lưu ý:

• Đồ thị hàm số \((C):y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a \ne 0)\) có tâm đối xứng có hoành độ \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(y” = 0\). Khi đó điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số \((C)\).
• Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = {x^3} – 3x – 2\) có đồ thị \((C)\). Tìm hai điểm \(M\), \(N\) nằm trên \((C)\) đối xứng nhau qua điểm \(A(1;-1)\).

Giả sử \(M\left( {{x_0};x_0^3 – 3x – 2} \right) \in (C)\). Suy ra \(N\left( {2 – {x_0}; – x_0^3 + 3{x_0}} \right)\). Ta có \(N \in (C)\) nên \( – x_0^3 + 3{x_0}\) \( = {\left( {2 – {x_0}} \right)^3} – 3\left( {2 – {x_0}} \right) – 2\). Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm \({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\). Với \({x_0} = 0\) ta có \(M(0;2)\), \(N(2;4)\). Với \({x_0} = 2\) ta có \(M(2;4)\), \(N(0;2)\). Vậy đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A(1;1)\) và \(B(-2;-5)\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

...(Các dạng toán và ví dụ tiếp theo được trình bày tương tự như trên, bao gồm Dạng 3: Điểm có tọa độ nguyên, Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa điều kiện cho trước, cùng với các bài tập trắc nghiệm.)