giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 21 tháng 12 năm 2023, đây là một đề thi có chất lượng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.
Đề thi năm nay bao gồm 3 bài toán, được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Cho các số nguyên m, n thỏa mãn mỗi số 2m + 5n và 2n + 5m là lập phương của một số nguyên. Chứng minh số K = m3 − n2 chia hết cho 9.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất chia hết, lập phương của một số nguyên và các kỹ năng biến đổi đại số. Để giải bài toán này, học sinh cần tìm cách liên hệ giữa 2m + 5n và 2n + 5m với m3 − n2 thông qua các phép toán phù hợp. Bài toán này có tính chất chọn lọc cao, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
Cho đường tròn (O) có đường kính BC. Lấy A là một điểm bất kì thuộc đường tròn (A khác B, A khác C). Từ điểm M bất kì thuộc tia đối của tia CA (M khác C), vẽ tiếp tuyến ME, MF của đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng qua M vuông góc với BC tại I cắt BE, BF lần lượt tại T, Q. 1) Chứng minh rằng M là trung điểm QT. 2) Đường tròn ngoại tiếp BQT cắt đường tròn đường kính AC tại Z (Z khác A). Đường thẳng qua C, vuông góc với CM, cắt QT tại K. Dựng hình bình hành OCMW. Chứng minh KC = KZ. 3) Gọi U là trung điểm AB. Chứng minh rằng ∠WMU = ∠CZI.
Nhận xét: Bài toán hình học này kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tam giác vuông và các tính chất liên quan đến trung điểm, đường tròn ngoại tiếp. Bài toán có cấu trúc phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các định lý, tính chất phù hợp để chứng minh. Đặc biệt, câu c) đòi hỏi sự sáng tạo và khả năng liên kết các yếu tố hình học một cách tinh tế.
Cho bảng ô vuông kích thước 2023 × 2024 gồm 2023 hàng và 2024 cột. Điền các số nguyên vào bảng sao cho ô nào cũng được điền và các số không nhất thiết phân biệt. Ta gọi một ô vuông 1 x 1 là tốt nếu số của nó nhỏ hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng hàng với nó, đồng thời lớn hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng cột với nó. a) Chỉ ra một cách điền số để trên bảng có đúng 2023 ô vuông tốt. b) Tìm số lượng ô vuông tốt nhiều nhất có thể đạt được.
Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, khả năng xây dựng các trường hợp và chứng minh tính đúng đắn của các trường hợp đó. Câu a) yêu cầu học sinh phải tìm ra một cách điền số cụ thể thỏa mãn điều kiện đề bài, trong khi câu b) đòi hỏi học sinh phải tìm ra số lượng ô vuông tốt lớn nhất có thể đạt được và chứng minh rằng không có cách điền số nào khác có thể tạo ra nhiều ô vuông tốt hơn. Bài toán này có tính ứng dụng cao, giúp học sinh rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán thực tế.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 – 2024 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao và đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và tư duy sáng tạo. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
