giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nam Trực, tỉnh Nam Định tổ chức. Đề thi đi kèm với đáp án chi tiết, lời giải và hướng dẫn chấm điểm, là tài liệu ôn luyện hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi.
Đề thi năm nay có cấu trúc khá điển hình cho các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tập trung vào các chủ đề quen thuộc nhưng đòi hỏi tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Cụ thể, đề thi bao gồm ba bài toán lớn như sau:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC (với AB < AC). Gọi E là trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F. Đoạn thẳng BF cắt đường tròn (O) tại H. Yêu cầu:
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học khá thú vị, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tam giác đồng dạng và các tính chất liên quan đến trung điểm. Điểm mấu chốt để giải quyết bài toán này là việc sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp để thiết lập các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc. Việc chứng minh tam giác đồng dạng là bước quan trọng để tìm ra các tỉ lệ cần thiết.
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 3x2 + 2xy + 5y2 = 0. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: p2 - 1 chia hết cho 24.
Nhận xét: Bài toán đại số này kết hợp hai phần: tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai và chứng minh tính chia hết. Phần tìm nghiệm nguyên đòi hỏi học sinh phải biến đổi phương trình một cách khéo léo để tìm ra các ràng buộc cho x và y. Phần chứng minh tính chia hết yêu cầu học sinh nắm vững các tính chất của số nguyên tố và khả năng chia hết.
Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có tất cả 1013 số 1 và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt. Điều kiện "các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau" là một ràng buộc quan trọng, giúp thu hẹp phạm vi tìm kiếm lời giải. Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng các kỹ thuật đếm và tính toán một cách cẩn thận.
Nhìn chung, đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 9 năm học 2023 – 2024 huyện Nam Trực – Nam Định là một đề thi có chất lượng, phù hợp với trình độ của học sinh giỏi. Việc giải đề thi này sẽ giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, mở rộng kiến thức và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi sắp tới.
