đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt lào cai

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai tổ chức. Kỳ thi chính thức diễn ra vào ngày 26 và 27 tháng 9 năm 2024.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Tại một Festival quốc tế, có 2024 thiếu niên đến từ k quốc gia tham gia một hoạt động tập thể. Các thiếu niên được chia thành các đội chơi, sao cho mỗi đội không có quá một thiếu niên đến từ cùng một quốc gia và mỗi thiếu niên chỉ tham gia đúng một đội. Ban tổ chức yêu cầu các đội báo cáo thành phần quốc tịch của các thành viên. Thư ký so sánh báo cáo của từng cặp đội và ghi lên bảng số lượng quốc gia mà cả hai đội đều có thành viên. Biết rằng mọi cặp đội đều được so sánh và mỗi cặp chỉ được ghi một lần. Gọi tổng các số được ghi lên bảng là T. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.
   Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp có tính ứng dụng cao, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về nguyên lý đếm và kỹ năng tối ưu hóa. Bài toán có thể được tiếp cận bằng cách xét các trường hợp đặc biệt và sử dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị nhỏ nhất của T.
2. Bài 2: Với n là số nguyên dương, xét phương trình xⁿ – nx + 3 = 0.
   a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ≥ 5, phương trình đã cho có một nghiệm a_n thuộc (0;1) và một nghiệm b_n thuộc (1;+∞).
   b) Chứng minh dãy số (a_n) và dãy số (b_n) có giới hạn hữu hạn, tìm các giới hạn đó.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực giải tích, yêu cầu thí sinh phải nắm vững kiến thức về nghiệm của phương trình, tính liên tục của hàm số và giới hạn của dãy số. Việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm a_n và b_n có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý Bolzano. Việc tìm giới hạn của dãy số đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng phân tích và đánh giá.
3. Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). AD cắt BC tại E, AB cắt CD tại F, AC cắt BD tại I. Đường tròn (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF lần lượt tại G, H (G khác A, H khác C).
   a) Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng.
   b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ECD và đường tròn ngoại tiếp tam giác FBC cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm M (M khác C). Chứng minh rằng bốn điểm G, O, H, M cùng nằm trên một đường tròn.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về các tính chất của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, và các định lý liên quan đến tứ giác nội tiếp. Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và sử dụng các công cụ hình học để chứng minh các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng.

Đánh giá chung: Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán THPT năm 2024 – 2025 tỉnh Lào Cai có cấu trúc tương đối quen thuộc, bao gồm các bài toán về tổ hợp, giải tích và hình học. Tuy nhiên, độ khó của các bài toán được nâng cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một cơ hội tốt để các em học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng của mình, chuẩn bị cho kỳ thi HSG Quốc gia sắp tới.