giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường THPT Chu Văn An, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 15 tháng 10 năm 2022, đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết bài toán linh hoạt.
Đề thi bao gồm 3 bài toán, được đánh giá là có độ khó tăng dần, bao phủ các chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11, đặc biệt là giải tích và hình học không gian.
Cho hàm số y = x3 + 2mx2 − 3x (1) và đường thẳng d: y – mx + 2 = 0 (với m là tham số). Yêu cầu tìm m để đường thẳng d và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 5 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).
Nhận xét: Đây là một bài toán điển hình về ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải tích. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần nắm vững kiến thức về phương trình hoành độ giao điểm, điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt, và công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh. Bài toán đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa đại số và hình học, cũng như khả năng biến đổi và rút gọn biểu thức một cách khéo léo.
Cho tứ diện SABC có AB = AC = a, BC = a/2, SA = a√3 (a > 0). Biết góc SAB = 30o và góc SAC = 30o. Tính thể tích khối tứ diện theo a.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình học không gian, cụ thể là việc tính thể tích tứ diện. Để giải bài toán, thí sinh cần sử dụng các công thức tính thể tích tứ diện, đồng thời vận dụng các định lý về tam giác và góc trong không gian. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp để tính chiều cao của tứ diện là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1/8.
Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức hình học không gian, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc. Để chứng minh bài toán này, thí sinh có thể sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, hoặc các đánh giá hình học phù hợp. Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về bất đẳng thức mà còn đánh giá khả năng sáng tạo và linh hoạt trong việc giải quyết vấn đề.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển Toán 11 năm 2022 – 2023 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực của học sinh giỏi. Việc luyện tập và làm quen với các dạng bài tập tương tự sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi.
