giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nghĩa Đàn, tỉnh Nghệ An tổ chức. Đây là một đề thi có chất lượng, thể hiện rõ các yêu cầu về kiến thức và kỹ năng giải toán nâng cao dành cho học sinh chuyên Toán.
Bộ đề bao gồm 3 bài toán, được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết sâu sắc về các kiến thức toán học đã học, cùng với khả năng vận dụng linh hoạt các phương pháp giải toán khác nhau.
Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 3a2 + a = 4b2 + b. Chứng minh a – b và 4a + 4b + 1 đều là số chính phương.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt, cùng với khả năng nhận biết các dạng số chính phương. Để giải bài toán này, có thể sử dụng phương pháp đánh giá hoặc phương pháp tìm nghiệm nguyên.
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi N là giao điểm của ID và EF. Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại Q và P. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về đường tròn nội tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (trung điểm, giao điểm các đường thẳng), và các định lý về tam giác đồng dạng. Việc vẽ hình chính xác và phân tích các mối quan hệ hình học là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111…11 chia hết cho p.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đồng dư thức và các tính chất của số nguyên tố. Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng định lý Fermat nhỏ hoặc các phương pháp khác liên quan đến đồng dư thức.
Đánh giá chung:
Bộ đề thi này có cấu trúc rõ ràng, bao gồm các dạng toán quen thuộc như số học, hình học, nhưng lại được nâng cao về độ khó và tính phức tạp. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh.
