giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề giao lưu học sinh giỏi Toán 7 năm học 2016 – 2017 của Phòng Giáo dục và Đào tạo Tam Dương, Vĩnh Phúc. Đề thi này không chỉ là một bài kiểm tra năng lực mà còn là cơ hội tuyệt vời để rèn luyện tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và sự sáng tạo trong môn Toán. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết, lời giải hoàn chỉnh và bảng hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình tự học và ôn luyện.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho góc CBx nhọn, trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và 2. Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD.
Yêu cầu:
Nhận xét và phân tích: Đây là một bài toán hình học đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về tam giác, đường trung tuyến, đường cao và các tính chất liên quan đến tỉ lệ. Điểm mấu chốt để giải quyết bài toán này nằm ở việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông và các tính chất của đường trung tuyến. Việc chứng minh DN vuông góc với AC có thể được thực hiện thông qua việc chứng minh tam giác ADN cân tại N. Phần b yêu cầu sự biến đổi khéo léo để đưa BH2 + CI2 về một biểu thức không phụ thuộc vào vị trí của điểm D. Phần c là phần khó nhất, đòi hỏi học sinh phải tìm ra điểm cố định mà tia phân giác của góc HIC luôn đi qua, thường thông qua việc chứng minh sự đồng dạng của các tam giác.
Trong một bảng ô vuông gồm có 5×5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
Nhận xét và phân tích: Bài toán này thuộc dạng bài toán tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Số lượng các tổng có thể có là hữu hạn, trong khi số lượng các hàng, cột và đường chéo là lớn hơn. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, chắc chắn phải có ít nhất hai tổng bằng nhau. Bài toán này rèn luyện khả năng tư duy logic và áp dụng các nguyên lý toán học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Cho đa thức f(x) = 2016x4 – 32(25k + 2)x2 + k2 – 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c). Tính hiệu của a – c.
Nhận xét và phân tích: Đây là một bài toán đại số liên quan đến nghiệm của đa thức bậc bốn. Việc đa thức có đúng ba nghiệm phân biệt cho thấy một trong các nghiệm phải là nghiệm kép. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng các kiến thức về nghiệm của đa thức, mối quan hệ giữa hệ số và nghiệm, và kỹ năng giải phương trình bậc hai. Việc tìm ra nghiệm kép và sử dụng các điều kiện về nghiệm để xác định giá trị của k là những bước quan trọng để tìm ra hiệu a – c.
Đề thi giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 – 2017 Phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực của học sinh giỏi. Việc giải đề thi này sẽ giúp các em học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp cao hơn.
