đề học sinh giỏi huyện toán 7 năm 2016 – 2017 phòng gd&đt kim thành – hải dương

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 7 một đề thi học sinh giỏi Toán 7 có giá trị, đó là đề thi học sinh giỏi huyện Toán 7 năm học 2016 – 2017 do Phòng Giáo dục và Đào tạo Kim Thành, Hải Dương tổ chức. Đề thi này không chỉ là cơ hội để học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán mà còn là tài liệu tham khảo hữu ích cho việc chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi khác. Điểm đặc biệt của đề thi là có kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học và đối chiếu kết quả.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài toán hình học: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

   • a) Chứng minh rằng: ∠ADC = ∠ABE.
   • b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều.
   • c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về tam giác đều, tam giác cân, các trường hợp bằng nhau của tam giác và các tính chất liên quan đến góc. Việc vẽ hình chính xác và tìm ra các mối liên hệ giữa các yếu tố hình học là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán. Câu c) là câu khó nhất, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và có khả năng suy luận logic.

2. Bài toán số học: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương thì 3ⁿ⁺² – 2ⁿ⁺² + 3ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 10.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng các tính chất chia hết, lũy thừa và phép biến đổi đại số. Một cách tiếp cận hiệu quả là phân tích biểu thức thành nhân tử và chứng minh rằng nó chứa các thừa số 2 và 5, từ đó suy ra tính chia hết cho 10.

3. Bài toán phương trình nghiệm nguyên: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Có thể biến đổi phương trình về dạng tích hoặc sử dụng phương pháp chặn để tìm ra các nghiệm nguyên. Việc xét các trường hợp khác nhau của x và y là cần thiết để đảm bảo không bỏ sót nghiệm.

Đề thi này là một tài liệu luyện tập quý giá cho học sinh lớp 7 muốn nâng cao trình độ Toán học. Việc tự giải đề thi và đối chiếu với đáp án, lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.