giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái tổ chức, diễn ra vào ngày 29 tháng 09 năm 2022. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho công tác ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán tiếp theo.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho hàm số y = (2x + 3)/(x + 3) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -2x + m (m là tham số thực). Yêu cầu chứng minh đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Sau đó, tìm giá trị của m để biểu thức P = (k1)2022 + (k2)2022 đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó k1 và k2 là hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại giao điểm A và B.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh nắm vững kiến thức về phương trình hoành độ giao điểm, điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, và kỹ năng tính đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Việc tìm giá trị nhỏ nhất của P có thể yêu cầu thí sinh sử dụng các kỹ thuật đánh giá hoặc biến đổi đại số khéo léo.
Cho đa giác (H) có 20 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Chọn bốn đỉnh tùy ý của (H). Tính xác suất để bốn đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác lồi có bốn cạnh đều là đường chéo của (H).
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp và xác suất. Thí sinh cần hiểu rõ cách tính số phần tử của không gian mẫu (tất cả các cách chọn 4 đỉnh từ 20 đỉnh) và số phần tử của biến cố (các cách chọn 4 đỉnh tạo thành tứ giác lồi có bốn cạnh là đường chéo). Việc xác định chính xác điều kiện để một tứ giác là tứ giác lồi và có bốn cạnh là đường chéo là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
Cho hình chóp giaibaitoan.com có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30°. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC, CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND. Yêu cầu:
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về hình học không gian, bao gồm việc tính thể tích khối chóp, xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Việc sử dụng các công cụ hình học như định lý Pitago, định lý cosin, và các công thức tính thể tích, diện tích là cần thiết. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, thí sinh có thể cần tìm một điểm thuộc đường thẳng này và tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.
Nhìn chung, đề thi có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết bài toán tốt, và khả năng vận dụng linh hoạt các công thức và định lý toán học. Đây là một đề thi tốt để các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ.
