đề học sinh giỏi huyện toán 9 năm 2022 – 2023 phòng gd&đt nam đàn – nghệ an

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp huyện Nam Đàn, tỉnh Nghệ An năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nam Đàn tổ chức. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán, đồng thời giúp đánh giá năng lực học tập của học sinh.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc

   Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (đề bài gốc chưa cung cấp bất đẳng thức cần chứng minh, cần bổ sung).

   Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp. Việc điều kiện a + b + c = 1 đóng vai trò quan trọng trong việc tìm ra lời giải tối ưu.

2. Bài toán 2: Hình học tam giác và đường trung tuyến

   Cho tam giác ABC nhọn có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G (trọng tâm).

   • a) Tính tỉ số diện tích của tam giác AMN và tam giác ABC.
   • b) Chứng minh AB² + AC² = 5BC².
   • c) Chứng minh: 3(cot B + cot C) ≥ 2.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về đường trung tuyến, trọng tâm, diện tích tam giác và các tính chất lượng giác.

   • Câu a) đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ mối quan hệ giữa diện tích tam giác và các yếu tố liên quan.
   • Câu b) là một bài toán tính toán tỉ số, thường được giải bằng định lý Pitago và các tính chất của trọng tâm.
   • Câu c) là một bài toán lượng giác, yêu cầu học sinh biến đổi các biểu thức lượng giác và sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản.
3. Bài toán 3: Nguyên lý Dirichlet và tính chất số học

   Cho 10 số nguyên dương 1; 2; 3; ….; 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đó có ít nhất 2 tổng có chữ số tận cùng giống nhau.

   Nhận xét: Đây là một bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Học sinh cần phân tích bài toán để xác định các "chuồng bồ câu" và "động vật" phù hợp, sau đó áp dụng nguyên lý để chứng minh kết quả.

   Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về nguyên lý Dirichlet mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề của học sinh.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó phù hợp với học sinh giỏi cấp huyện, bao gồm các dạng bài toán khác nhau, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi tập trung vào các chủ đề chính như bất đẳng thức, hình học và số học, đồng thời khuyến khích học sinh vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán phức tạp.