đề học sinh giỏi toán 9 năm 2022 – 2023 phòng gd&đt hai bà trưng – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo quận Hai Bà Trưng, thành phố Hà Nội tổ chức vào ngày 18 tháng 10 năm 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài hình học: Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB < AC), M là trung điểm của BC. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M lên AC, AB (E thuộc AC; F thuộc AB). Đường thẳng qua C và vuông góc với BC, cắt ME tại P; đường thẳng qua B vuông góc với BC, cắt MF tại Q.
   • 1) Chứng minh giaibaitoan.com = giaibaitoan.com và góc MFE = góc MPQ.
   • 2) Hai đường thẳng FM và AC cắt nhau tại S. Chứng minh tam giác SEF đồng dạng với tam giác SMA và AM vuông góc với PQ.
   • 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
   Nhận xét: Bài toán hình học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường trung tuyến, đường vuông góc, quan hệ giữa các góc và tam giác đồng dạng. Điểm mấu chốt để giải quyết bài toán là việc xây dựng các mối liên hệ hình học thông qua các tính chất của hình học phẳng. Câu c) đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic cao và khả năng liên kết các kết quả đã chứng minh được ở các câu trước.
2. Bài đại số: Cho a, b, x, y là các số nguyên dương thoả mãn a, b nguyên tố cùng nhau và (x² + y²)/a = xy/b. Chứng minh a + 2b là số chính phương. Nhận xét: Bài toán đại số này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về số nguyên tố cùng nhau, phương trình Diophantine và các kỹ năng biến đổi đại số. Để giải quyết bài toán, cần phải tìm cách biểu diễn a + 2b dưới dạng bình phương của một số nguyên.
3. Bài tổ hợp: Trong khu rừng trên đảo có một đàn gồm 2021 con kì nhông màu xanh, 2022 con kì nhông màu đỏ, 2023 con kì nhông màu vàng sinh sống. Để lẩn trốn và săn mồi, loài kì nhông này biến đổi màu như sau: nếu hai con khác màu gặp nhau thì chúng cùng đổi sang màu thứ ba; nếu hai con cùng màu gặp nhau thì chúng giữ nguyên màu. Hỏi có khả năng nào để tất cả các con kì nhông trở thành cùng một màu được không? Vì sao? Nhận xét: Bài toán tổ hợp này mang tính chất khám phá và đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tình huống. Cần xem xét sự thay đổi số lượng kì nhông mỗi màu sau mỗi lần gặp nhau và đưa ra kết luận dựa trên các tính chất của phép toán modulo.

Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh lớp 9 đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải chi tiết đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi.