giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Phúc Thọ, thành phố Hà Nội. Đề thi có cấu trúc quen thuộc với 5 bài toán tự luận, đòi hỏi thí sinh vận dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt và sáng tạo. Thời gian làm bài là 150 phút (không tính thời gian phát đề).
Đề thi này được đánh giá là có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá và phân loại học sinh giỏi. Các bài toán không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn yêu cầu thí sinh có khả năng phân tích, tổng hợp và giải quyết vấn đề. Dưới đây là phân tích chi tiết về từng bài toán:
Bài 1: Bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất.
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn (x + y)2 ≥ 6 + 2xy. Yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x4 – 2x2 + y2 + 6/x2 + 8/y2.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về bất đẳng thức (đặc biệt là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM) và kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Điều kiện (x + y)2 ≥ 6 + 2xy có thể được biến đổi để tìm mối liên hệ giữa x và y, từ đó đơn giản hóa biểu thức Q. Đây là một bài toán điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng biến đổi đại số tốt.
Bài 2: Chứng minh biểu thức là số hữu tỉ.
Cho M = (x2 + 2yz – 1)(y2 + 2xz – 1)(1 – z2 – 2xy), trong đó x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng M là một số hữu tỉ.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc chứng minh một biểu thức phức tạp là một số hữu tỉ dựa trên các giả thiết cho trước. Điều kiện xy + yz + zx = 1 đóng vai trò quan trọng trong việc đơn giản hóa biểu thức M. Thí sinh cần có kỹ năng phân tích biểu thức, sử dụng các phép biến đổi đại số và khai thác triệt để các giả thiết để đưa ra kết luận.
Bài 3: Hình học – Tam giác vuông và đường cao.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hình chiếu của I trên BC. Kẻ tia Cx vuông góc AC cắt IF tại E.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, kết hợp nhiều kiến thức về tam giác vuông, đường cao, trung điểm và các tính chất liên quan đến hình chiếu. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần vẽ hình chính xác, vận dụng các định lý và hệ thức lượng trong tam giác vuông, đồng thời sử dụng các kỹ năng chứng minh hình học cơ bản. Phần c) của bài toán đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng liên hệ các yếu tố hình học để đưa ra kết luận.
Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 huyện Phúc Thọ, Hà Nội là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
