đề olympic toán 10 năm 2019 cụm thpt thanh xuân & cầu giấy & thường tín – hà nội

Phân tích Đề Olympic Toán 10 năm 2019 – Cụm Thanh Xuân, Cầu Giấy, Thường Tín: Đánh giá và Nhận xét Chuyên sâu

Đề Olympic Toán 10 năm 2019 dành cho học sinh giỏi của ba trường THPT Thanh Xuân, Cầu Giấy và Thường Tín (Hà Nội) là một đề thi tự luận với cấu trúc quen thuộc, bao gồm 5 bài toán, được thiết kế để đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh trong giai đoạn đầu của bậc trung học phổ thông. Thời gian làm bài 120 phút là phù hợp để học sinh có thể suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và chính xác. Đề thi được biên soạn bởi tập thể giáo viên nhóm Diễn Đàn Giáo Viên Toán, đảm bảo tính chuyên môn và độ tin cậy.

Dưới đây là phân tích chi tiết về nội dung các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Hình học tọa độ

Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình học tọa độ, cụ thể là đường thẳng, hình chữ nhật và tính chất của hình chiếu. Yêu cầu học sinh vận dụng các công cụ như phương trình đường thẳng (tham số, tổng quát), trung điểm, và mối quan hệ vuông góc để giải quyết bài toán. Việc tìm tọa độ điểm H đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các kiến thức đã học. Đây là một bài toán điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi, kiểm tra khả năng tư duy không gian và kỹ năng tính toán chính xác.

• a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH. Tìm tọa độ điểm H?
• b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD.
2. Bài toán 2: Hình học phẳng

Bài toán này liên quan đến một tam giác ABC tùy ý và một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng. Phần a yêu cầu học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA² + MB² + MC², đòi hỏi kiến thức về bất đẳng thức và hình học vectơ. Phần b, với các giá trị cụ thể của a, b, c, yêu cầu học sinh tính góc nhỏ nhất và diện tích tam giác ABC, kiểm tra khả năng áp dụng định lý cosin, sin và công thức tính diện tích tam giác.

• a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA² + MB² + MC² theo a, b, c.
• b) Giả sử a = √6 cm, b = 2 cm, c = (1 + √3) cm. Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.
3. Bài toán 3: Hàm số bậc hai

Bài toán này xoay quanh hàm số y = x² – 2x + 2. Yêu cầu học sinh lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số, kiểm tra kiến thức về đỉnh, trục đối xứng, và các điểm đặc biệt của parabol. Phần b, bài toán yêu cầu tìm giá trị của m để phương trình -x² + 2x – 2 – m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ < -1 < 3 < x₂, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai và sử dụng đồ thị hàm số để xác định điều kiện của m.

• a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.
• b) Tìm m để phương trình -x² + 2x – 2 – m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn: x₁ < -1 < 3 < x₂.

Đánh giá chung:

Nhìn chung, đề thi Olympic Toán 10 năm 2019 cụm Thanh Xuân, Cầu Giấy, Thường Tín có độ khó phù hợp với học sinh giỏi. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao phủ nhiều chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin. Đây là một đề thi chất lượng, góp phần vào việc phát triển năng lực toán học cho học sinh.