Phân tích Đề Thi Olympic Toán 10 Cụm Hà Đông – Hoài Đức – Hà Nội (2018-2019): Đánh giá và Nhận xét Chuyên sâu
giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý độc giả đề thi Olympic Toán 10 năm học 2018 – 2019 dành cho cụm trường THPT Hà Đông – Hoài Đức – Hà Nội. Đề thi có cấu trúc gồm 01 trang, tập trung vào 04 bài toán tự luận, với thời gian làm bài là 150 phút và thang điểm tối đa 20 điểm. Đây là một đề thi có độ khó tương đối, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi, kèm theo đánh giá và nhận xét về mức độ khó, phương pháp tiếp cận và các kiến thức liên quan:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là ha, hb, hc. Biết rằng asinA + bsinB + csinC = ha + hb + hc, chứng minh tam giác ABC đều.
Đánh giá: Đây là một bài toán hình học đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về định lý sin, công thức tính diện tích tam giác và mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác. Mức độ khó: Khá.
Phân tích: Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng định lý sin (a/sinA = b/sinB = c/sinC) và công thức tính diện tích tam giác (S = 1/2 * cạnh * đường cao tương ứng). Từ giả thiết asinA + bsinB + csinC = ha + hb + hc, ta có thể biểu diễn ha, hb, hc qua diện tích tam giác và các cạnh, sau đó sử dụng định lý sin để đưa về một biểu thức đơn giản và chứng minh tam giác ABC đều.
Cho hai tia Ax, By với AB = 100 (cm), góc xAB = 45° và By ⊥ AB. Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A với vận tốc 3√2 (cm/s), cùng lúc đó chất điểm Y chuyển động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4 (cm/s). Sau t (giây) chất điểm X di chuyển đuợc đoạn đường AM, chất điểm Y di chuyển được đoạn đường BN. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN.
Đánh giá: Bài toán này kết hợp kiến thức về hình học phẳng, vận tốc và quãng đường. Yêu cầu học sinh phải có khả năng thiết lập hệ tọa độ và sử dụng các công thức tính khoảng cách. Mức độ khó: Khó.
Phân tích: Để giải bài toán này, ta có thể đặt hệ tọa độ Oxy với gốc O tại A, trục Ox trùng với tia Ax, trục Oy vuông góc với tia Ax. Sau thời gian t, tọa độ của X và Y sẽ là (3√2t, 0) và (0, 4t) tương ứng. Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, ta có thể biểu diễn MN theo t và tìm giá trị nhỏ nhất của MN bằng phương pháp đạo hàm hoặc sử dụng bất đẳng thức.
Cho phương trình x^4 – 2(m + 2)x^2 + 2m + 3 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + = 52.
Đánh giá: Đây là một bài toán đại số đòi hỏi sự hiểu biết về phương trình bậc bốn, điều kiện có nghiệm phân biệt và các công thức liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình. Mức độ khó: Khá.
Phân tích: Đặt t = x^2, phương trình trở thành phương trình bậc hai theo t: t^2 – 2(m + 2)t + 2m + 3 = 0. Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt, phương trình theo t phải có hai nghiệm phân biệt dương. Sử dụng điều kiện có nghiệm và điều kiện nghiệm dương, ta có thể tìm được khoảng giá trị của m. Sau đó, sử dụng định lý Viète để biểu diễn x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 theo các hệ số của phương trình và giải phương trình để tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nhận xét chung:
Đề thi Olympic Toán 10 cụm Hà Đông – Hoài Đức – Hà Nội (2018-2019) là một đề thi có chất lượng, đánh giá được khả năng tư duy logic, kỹ năng giải quyết vấn đề và kiến thức toán học của học sinh. Các bài toán trong đề thi có tính phân loại cao, đòi hỏi học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nắm vững các kiến thức cơ bản. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic Toán.
