đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2021 – 2022

giaibaitoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Trung học Phổ thông năm học 2021 – 2022. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 04 và 05 tháng 03 năm 2022, là một thước đo quan trọng về năng lực và kiến thức toán học của học sinh THPT trên cả nước.

Bộ đề thi này không chỉ là cơ hội để học sinh thể hiện khả năng giải quyết các bài toán phức tạp, mà còn là tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và nâng cao trình độ. Dưới đây là nội dung chi tiết của các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Với mỗi cặp số nguyên dương (n; m) thỏa mãn n < m, gọi s(n; m) là số các số nguyên dương thuộc đoạn [n; m] và nguyên tố cùng nhau với m. Tìm tất cả các số nguyên dương m ≥ 2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (Nội dung điều kiện thứ hai không được cung cấp đầy đủ trong đoạn văn bản gốc, cần bổ sung để có thể phân tích sâu hơn)
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về lý thuyết số, đặc biệt là hàm Euler φ(m) và tính chất nguyên tố cùng nhau. Việc tìm kiếm các số m thỏa mãn điều kiện có thể đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ năng phân tích, suy luận logic và kết hợp nhiều kiến thức khác nhau.
2. Bài toán 2: Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của P(x) đều không vượt quá 2021 và Q(x) có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử P(2022) = Q(2022) và P(x), Q(x) có chung nghiệm hữu tỷ p/q khác 0 (p và q nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng với mọi n. (Phần chứng minh còn thiếu, cần bổ sung để có thể phân tích đầy đủ)
   Nhận xét: Đây là một bài toán đại số khá thách thức, kết hợp kiến thức về đa thức, nghiệm hữu tỷ và các tính chất của hệ số đa thức. Việc chứng minh một mệnh đề tổng quát như "với mọi n" thường đòi hỏi thí sinh phải có tư duy trừu tượng cao và khả năng xây dựng các lập luận chặt chẽ.
3. Bài toán 3: Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu x_i là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ i.
   1. Tính số các bộ có thể có.
   2. Tính xác suất để có một số trong bằng tổng của ba số còn lại.
   3. Tính xác suất để có thể chia thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
   
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực xác suất thống kê, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về không gian mẫu, biến cố và cách tính xác suất.
   • Câu a) là một bài toán đếm đơn giản, có thể giải quyết bằng quy tắc nhân.
   • Câu b) đòi hỏi thí sinh phải xác định được các trường hợp thỏa mãn điều kiện và tính xác suất tương ứng.
   • Câu c) là một bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy tổ hợp và khả năng phân tích các trường hợp có thể xảy ra.

Đánh giá chung: Bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2021 – 2022 có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết bài toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao phủ nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh. Đây là một bộ đề thi chất lượng, có giá trị tham khảo lớn cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi.