Phân tích Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Cấp Tỉnh Phú Yên Năm Học 2020 – 2021
Ngày 30 tháng 03 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp tỉnh năm học 2020 – 2021. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.
Đề thi có cấu trúc gồm 06 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút. Nội dung đề thi bao gồm các chủ đề quen thuộc trong chương trình Toán THPT, nhưng được khai thác ở mức độ sâu và có tính chất thách thức cao.
Dưới đây là chi tiết về các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM, trực tâm H. Đường thẳng BH cắt đường tròn đường kính AC tại D, E (BD < BE). Đường thẳng CH cắt đường tròn đường kính AB tại F, G (CF < CG). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF cắt BC tại điểm thứ hai là N.
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tam giác, đường cao, trực tâm và các tính chất liên quan. Việc sử dụng các tính chất của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và các định lý hình học cơ bản là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Độ khó của bài toán được đánh giá ở mức cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và suy luận logic tốt.
Cho P(x), Q(x) là các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 và các hệ số đều là số thực và deg P(x) = deg Q(x) = 2020. Chứng minh rằng nếu phương trình P(x) = Q(x) không có nghiệm thực thì phương trình P(x + 2021) = Q(x – 2021) có nghiệm thực.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực đại số, cụ thể là về đa thức và phương trình. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần nắm vững kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức và các phương pháp chứng minh sự tồn tại của nghiệm. Bài toán có tính chất trừu tượng và đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tư duy logic và sử dụng các công cụ toán học một cách linh hoạt.
Cho p là số nguyên tố khác 2; a và b là hai số tự nhiên lẻ sao cho (a + b) chia hết cho p, (a − b) chia hết cho (p – 1). Chứng minh rằng (a^b + b^a) chia hết 2p.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về số nguyên tố, tính chia hết và các tính chất liên quan. Việc sử dụng các định lý về số học, các phép biến đổi đại số và các tính chất của số lẻ là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Bài toán có độ khó vừa phải, nhưng đòi hỏi thí sinh phải có sự cẩn thận và chính xác trong các bước tính toán.
Đánh giá chung: Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh Phú Yên năm học 2020 – 2021 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Các bài toán trong đề thi đều có tính thách thức, đòi hỏi thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và có phương pháp học tập hiệu quả.
