đề thi hsg toán 10 lần 15 năm 2024 hội các trường thpt chuyên dh&đb bắc bộ

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần thứ 15 năm 2024, do Hội các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ tổ chức. Kỳ thi đã diễn ra vào ngày 16 tháng 7 năm 2024, là một thử thách chuyên sâu dành cho những học sinh có niềm đam mê và năng lực đặc biệt với môn Toán.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết các bài toán. Cấu trúc đề thi bao gồm ba bài toán lớn, tập trung vào các chủ đề hình học, đại số và tổ hợp, thể hiện sự toàn diện trong đánh giá năng lực của học sinh.

Dưới đây là trích dẫn chi tiết nội dung các bài toán:

1. Bài toán 1: Hình học

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác, đồng quy tại trực tâm H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng AO₁ cắt cạnh BC tại L, các đường thẳng DE và HC cắt nhau tại M, các đường thẳng DF và HB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:

• a) MN vuông góc với AO₁.
• b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc với đường tròn đường kính AL.

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng và các tính chất liên quan đến trực tâm, đường cao của tam giác. Việc chứng minh MN vuông góc với AO₁ có thể sử dụng các tính chất hình học phẳng và phép biến hình. Phần b yêu cầu thí sinh phải xây dựng được đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và chứng minh sự tiếp xúc với đường tròn đường kính AL, đòi hỏi sự quan sát tinh tế và khả năng liên kết các yếu tố hình học.

2. Bài toán 2: Đại số

Cho dãy số (a_n) xác định bởi công thức truy hồi. Chứng minh rằng:

• a) a_kn chia hết cho a_n với mọi số nguyên dương k, n.
• b) Với mọi số nguyên tố p, tồn tại các số nguyên dương N và T sao cho a_n ≡ a_n+T (mod p) với mọi n ≥ N.
• c) Tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn: Trong dãy (a_n) có vô hạn số hạng chia hết cho p.

Nhận xét: Bài toán này tập trung vào các kiến thức về dãy số, tính chia hết, đồng dư thức và số nguyên tố. Phần a yêu cầu thí sinh chứng minh tính chất chia hết của dãy số, có thể sử dụng phương pháp quy nạp. Phần b liên quan đến tính tuần hoàn của dãy số theo modulo p, đòi hỏi sự hiểu biết về lý thuyết số. Phần c là phần khó nhất, yêu cầu thí sinh chứng minh sự tồn tại của vô hạn số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước, có thể sử dụng các định lý về số nguyên tố.

3. Bài toán 3: Tổ hợp

An và Bình cùng chơi một trò chơi trên bảng ô vuông kích thước (2n + 1) x (2n + 1). An là người đi trước. Ban đầu, tất cả các ô trên bảng đều có màu trắng. Ở mỗi lượt chơi, An tô một ô màu trắng thành màu xanh, còn Bình tô một ô màu trắng thành màu đỏ. Trò chơi kết thúc khi hai bạn tô hết tất cả các ô trên bảng. An thắng nếu với hai ô màu xanh bất kì tồn tại ít nhất một chuỗi các ô xanh lân cận kết nối chúng với nhau (hai ô gọi là lân cận nếu chúng có chung ít nhất một đỉnh). Nếu không thì Bình là người thắng.

• a) Khi n = 1, xác định người chơi có chiến lược thắng.
• b) Khi n ≥ 2, chứng minh Bình có chiến lược thắng.

Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp và lý thuyết trò chơi. Phần a yêu cầu thí sinh phân tích trường hợp cụ thể n = 1 để tìm ra chiến lược thắng. Phần b là phần khó hơn, đòi hỏi thí sinh phải xây dựng được chiến lược cho Bình để đảm bảo rằng không tồn tại hai ô xanh nào không liên kết với nhau, có thể sử dụng các kỹ thuật chứng minh phản chứng hoặc xây dựng chiến lược đối xứng.

Nhìn chung, đề thi HSG Toán 10 lần 15 năm 2024 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh. Việc giải được đề thi này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo.