đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn toán (chuyên) năm 2021 trường đhsp hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán (chuyên) năm 2021 của trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Đi kèm với đề thi là đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn với mục tiêu hỗ trợ tối đa quá trình ôn luyện và làm quen với cấu trúc đề thi chuyên.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Các câu hỏi không chỉ kiểm tra kiến thức về hình học và đại số mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tế.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R. Giả sử C là điểm cố định trên tia đối của tia BA. Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa C và E). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M. Biết rằng bốn điểm O, B, M, E cùng thuộc một tứ giác. Chứng minh rằng:
   • a) Tứ giác OBME nội tiếp.
   • b) CD² + CE² = CO² + R².
   • c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học điển hình, yêu cầu thí sinh phải nắm vững các kiến thức về đường tròn, tứ giác nội tiếp, và các tính chất liên quan đến góc. Việc chứng minh tứ giác OBME nội tiếp là bước quan trọng để giải quyết các câu hỏi tiếp theo. Câu c) đòi hỏi thí sinh phải tìm ra quỹ tích của điểm M, một kỹ năng quan trọng trong hình học.

2. Bài toán 2 (Số học): Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng 2 + 1 + xy với x, y là hai số nguyên dương.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc phân tích số nguyên và tìm điều kiện để biểu diễn duy nhất. Thí sinh cần phải hiểu rõ về cấu trúc của số nguyên dương và cách phân tích chúng thành các thành phần khác nhau.

3. Bài toán 3 (Đại số): Cho a, b, c là ba số nguyên dương sao cho mỗi số trong ba số đó đều biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 2 với số mũ tự nhiên. Biết rằng phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (1) có cả hai nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng hai nghiệm của phương trình (1) bằng nhau.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm nguyên, và tính chất của lũy thừa. Việc chứng minh hai nghiệm bằng nhau đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các công thức và định lý liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là điều kiện để phương trình có nghiệm kép.

Đánh giá chung: Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm 2021 trường Đại học Sư phạm Hà Nội là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Việc giải quyết thành công các bài toán trong đề thi này đòi hỏi thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và tư duy sáng tạo. giaibaitoan.com hy vọng rằng bộ đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chinh phục kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán.