giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2024 – 2025 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình. Kỳ thi chính thức đã diễn ra vào ngày 03 tháng 06 năm 2024. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn a2 + ab + b chia hết cho ab + 1. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên c sao cho a + b + c + abc là một số chính phương.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về tính chia hết, các phép biến đổi đại số và kỹ năng chứng minh. Bài toán này có thể được tiếp cận bằng cách sử dụng các tính chất của số chính phương và các điều kiện chia hết đã cho để tìm ra số c thỏa mãn.
Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Các đường thẳng BH, CH theo thứ tự cắt đường thẳng AO tại E, F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HEF.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại S. Chứng minh rằng AB/HE = SB/AE và ba điểm A, I, M thẳng hàng.
c) Tia MO cắt đường tròn (O) tại điểm D. Đường thẳng qua O song song với AD cắt đường thẳng HD tại điểm G. Chứng minh bốn điểm B, G, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Nhận xét: Bài toán hình học này là một bài toán điển hình trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên. Bài toán đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tam giác đồng dạng, tính chất của trực tâm, trung điểm và các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các kiến thức hình học và kỹ năng chứng minh.
Một giải bóng đá có n đội tham dự (n thuộc N và n ≥ 2). Các đội đá theo thể thức vòng tròn một lượt tính điểm (hai đội bất kì sẽ gặp nhau đúng 1 lần). Cách tính điểm như sau: Mỗi trận đấu, nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm; nếu không hòa, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm. Điểm xếp hạng của mỗi đội là tổng số điểm mà đội ấy đạt được sau khi thi đấu tất cả các trận. Kết thúc giải đấu, các đội được xếp hạng theo điểm xếp hạng từ cao xuống thấp, các đội có điểm xếp hạng bằng nhau được xếp cùng một hạng (biết rằng không xảy ra trường hợp cả n đội được xếp cùng một hạng).
a) Với số tự nhiên p (p ≤ 3n – 3), người ta đếm được k đội (k thuộc N*) có điểm xếp hạng từ p điểm trở lên. Chứng minh rằng tổng điểm xếp hạng của k đội này không vượt quá 3k(2n – k – 1)/2.
b) Xét số điểm chênh lệch nhỏ nhất của hai đội xếp hạng liền nhau. Hỏi số điểm này tối đa có thể bằng bao nhiêu?
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và đại số. Phần a yêu cầu thí sinh phải sử dụng các kỹ năng đánh giá và chứng minh bất đẳng thức. Phần b đòi hỏi thí sinh phải phân tích cấu trúc điểm số của giải đấu để tìm ra giá trị lớn nhất có thể của điểm chênh lệch giữa hai đội xếp hạng liền nhau.
Đánh giá chung: Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên tỉnh Ninh Bình năm 2024 – 2025 có cấu trúc khá cân đối, bao gồm các bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau của chương trình Toán lớp 9. Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic. Đây là một đề thi tốt để đánh giá năng lực của học sinh và chuẩn bị cho các kỳ thi tiếp theo.
