điều kiện hàm số bậc ba đơn điệu trên khoảng cho trước

## Hướng dẫn Giải Bài Toán Tìm Điều Kiện Hàm Số Bậc Ba Đơn Điệu trên Khoảng Cho Trước Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giải các bài toán liên quan đến việc xác định điều kiện để hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (với \(a \neq 0\)) đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước, thường gặp trong chương trình Giải tích 12. **1. Phương Pháp Giải Toán** Cho hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) \((a \neq 0)\). * **Tập xác định:** \(D = \mathbb{R}\). * **Đạo hàm:** \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). **a) Hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)** * Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \geq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} b^2 - 3ac \leq 0 \\ a > 0 \end{cases}\). * Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \leq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} b^2 - 3ac \leq 0 \\ a < 0 \end{cases}\). **b) Hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên khoảng \((a; b)\) cho trước** * Hàm số đồng biến trên \((a; b)\) \(\Leftrightarrow y' \geq 0\), \(\forall x \in (a; b)\). * Hàm số nghịch biến trên \((a; b)\) \(\Leftrightarrow y' \leq 0\), \(\forall x \in (a; b)\). **Các Phương Pháp Giải Chi Tiết** **Phương pháp độc lập tham số (sử dụng khi tách được tham số)** * **Bước 1:** Tách tham số \(m\) trong bất đẳng thức \(y' \geq 0\) (hoặc \(y' \leq 0\)) để đưa về dạng \(f(x) \geq g(m)\) hoặc \(f(x) \leq g(m)\). * **Bước 2:** Xét hàm số \(y = f(x)\) trên khoảng \((a; b)\), tính đạo hàm, lập bảng biến thiên. * **Bước 3:** Dựa vào bảng biến thiên của \(f(x)\) để suy ra được giá trị của \(g(m)\): “lớn hơn giá trị lớn nhất” hoặc “nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất”. **Phương pháp delta (sử dụng khi không tách được tham số)** * Xét \(\Delta' = b^2 - 3ac\). * **Trường hợp 1:** \(\Delta' \leq 0\). Kiểm tra dấu của hệ số \(a\) để suy ra hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Đối chiếu yêu cầu bài toán để suy ra giá trị \(m\). * **Trường hợp 2:** \(\Delta' > 0\). Khi đó \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Lập bảng xét dấu, dựa vào yêu cầu của bài toán để suy ra giá trị \(m\). **Lưu ý:** Nếu hệ số \(a\) phụ thuộc vào tham số, ta cần xét thêm trường hợp \(a = 0\). **2. Ví Dụ Minh Họa** **Bài 1.** Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = x^3 - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3x^2 - m\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \geq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \Delta' = 3m \geq 0\) \(\Leftrightarrow m \geq 0\). **Bài 2.** Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = (m – 2)x^3 – (2m – 1)x^2 – x + m – 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Với \(m = 2\), hàm số trở thành \(y = -3x^2 - x + 1\). Hàm số bậc hai không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \(m = 2\) không thỏa mãn bài toán. Với \(m \neq 2\), ta có \(y' = 3(m – 2)x^2 – 2(2m – 1)x – 1\). Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \leq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). \(\Leftrightarrow \begin{cases} a = m – 2 < 0 \\ \Delta' = (2m – 1)^2 + 3(m – 2) \leq 0 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} m < 2 \\ 4m^2 – m – 5 \leq 0 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow -1 \leq m \leq \frac{5}{4}\). Vậy \(m \in \left[ -1; \frac{5}{4} \right]\). **Bài 3.** Tìm điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = x^3 - mx^2 + (m + 6)x - 1\) đồng biến trên khoảng \((1; +\infty)\). Ta có \(y' = 3x^2 - 2mx + m + 6\). Hàm số đồng biến trên \((1; +\infty)\) \(\Leftrightarrow y' \geq 0\), \(\forall x \in (1; +\infty)\). \(\Leftrightarrow m \leq \frac{3x^2 + 6}{2x - 1}\), \(\forall x \in (1; +\infty)\). Xét \(g(x) = \frac{3x^2 + 6}{2x - 1}\) với \(x \in (1; +\infty)\). Ta có \(g'(x) = \frac{6x^2 - 6x - 12}{(2x - 1)^2} = 0\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 2 \end{cases}\). (Bảng biến thiên của g(x) được lược bỏ để tuân thủ yêu cầu không sử dụng hình ảnh) Từ bảng biến thiên ta suy ra \(m \leq 6\). **Bài 4 - Bài 14:** (Các bài toán và lời giải tương tự như trên, được lược bỏ để đảm bảo độ dài phù hợp và tuân thủ yêu cầu về định dạng). **3. Bài Tập Trắc Nghiệm** (Các bài tập trắc nghiệm và đáp án được lược bỏ để đảm bảo độ dài phù hợp và tuân thủ yêu cầu về định dạng). **Nhận xét:** * Việc nắm vững điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba là nền tảng quan trọng. * Việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp (phương pháp độc lập tham số hoặc phương pháp delta) phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. * Cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt, ví dụ như khi hệ số \(a\) phụ thuộc vào tham số. * Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng giải toán.