kiểm tra chất lượng toán 10 chuyên đầu năm 2022 – 2023 chuyên lê quý đôn – br vt

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề kiểm tra chất lượng môn Toán 10 chuyên, đầu năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Đề thi có cấu trúc gồm 04 bài toán tự luận, được thực hiện trong thời gian 180 phút, vào ngày 15 tháng 08 năm 2022.

Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, phù hợp với trình độ học sinh chuyên Toán. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học, đại số và tổ hợp, đồng thời khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi A₁ là giao điểm của EF và BC; B₁ là giao điểm của FD và CA; C₁ là giao điểm của DE và AB.
   • Yêu cầu 1: Chứng minh hai đường thẳng HM và AA₁ vuông góc, đồng thời chứng minh ba điểm A₁, B₁, C₁ thẳng hàng.
   • Yêu cầu 2: Qua E và F dựng hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) tại A₂ và A₃. Tương tự, qua F và D dựng hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) tại B₂ và B₃; qua D và E dựng hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) tại C₂ và C₃. Chứng minh các đường thẳng A₂A₃, B₂B₃, C₂C₃ và OH đồng quy.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (trực tâm, giao điểm của các đường cao) và định lý Ceva, Menelaus. Yêu cầu 2 có độ phức tạp cao, đòi hỏi học sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng liên kết các kiến thức khác nhau.
2. Bài toán 2 (Đại số): Với mỗi cách viết số 2023 thành tổng của một hoặc nhiều số nguyên dương, ta đặt T là tích các số nguyên dương đó. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T. Nhận xét: Bài toán này liên quan đến việc tối ưu hóa một biểu thức đại số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân) và kỹ năng tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
3. Bài toán 3 (Tổ hợp): Lớp 10 chuyên Toán 1 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn có 30 học sinh. Vào ngày đầu sinh hoạt lớp, các bạn nhận ra rằng cứ ba học sinh tùy ý trong lớp thì luôn có hai bạn nào đó quen biết nhau (sự quen biết là mối quan hệ hai chiều). Chứng minh rằng luôn có thể tìm ra trong lớp ít nhất 210 cặp, mỗi cặp gồm hai học sinh quen biết nhau. Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về đồ thị và định lý Turán. Bài toán này kiểm tra khả năng suy luận logic và kỹ năng chứng minh toán học.

Nhìn chung, đề thi này là một bài kiểm tra chất lượng tốt, giúp đánh giá năng lực của học sinh chuyên Toán một cách toàn diện. Việc giải đề thi này sẽ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, mở rộng kiến thức và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.