tìm nhanh tọa độ tâm và bán kính đường tròn trong bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức – đặng thanh

Tuyển tập công thức tìm nhanh tọa độ tâm và bán kính đường tròn trong bài toán số phức

Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức, đặc biệt là các bài toán liên quan đến đường tròn, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Việc nắm vững các công thức và kỹ năng biến đổi số phức là yếu tố then chốt để giải quyết nhanh chóng và chính xác. Tài liệu này tập hợp các công thức quan trọng, kèm theo chứng minh và ví dụ minh họa, giúp bạn tự tin đối mặt với các dạng bài tập này.

Bạn đã bao giờ tự hỏi, khi một số phức z thỏa mãn điều kiện hình học nào đó (ví dụ, khoảng cách đến một điểm cố định bằng một giá trị cho trước), tập hợp các điểm biểu diễn của một biểu thức liên quan đến z (ví dụ, w = z₁z + z₂) sẽ có dạng gì không? Liệu nó có còn là một đường tròn hay không? Và nếu là đường tròn, làm thế nào để xác định nhanh chóng tọa độ tâm và bán kính của nó?

Dưới đây là các kết quả quan trọng:

1. Kết quả 1: Cho z₁ ∈ ℂ, số phức z thỏa mãn |z – z₁| = R. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (I₁; R), trong đó I₁ là điểm biểu diễn của số phức z₁ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Kết quả 2: Cho z₁, z₂ ∈ ℂ, z₂ ≠ 0, số phức z thỏa mãn |z – z₁| = R. Khi đó:
   • Tập hợp điểm biểu diễn số phức w₁ = z.z₂ là đường tròn, tâm là điểm biểu diễn của z₁z₂, bán kính R|z₂|.
   • Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z/z₂ là đường tròn, tâm là điểm biểu diễn của z₁/z₂, bán kính R/|z₂|.
   • Tập hợp điểm biểu diễn số phức w₃ = z + z₂ là đường tròn, tâm là điểm biểu diễn của z₁ + z₂, bán kính R.
   • Tập hợp điểm biểu diễn số phức w₄ = z – z₂ là đường tròn, tâm là điểm biểu diễn của z₁ – z₂, bán kính R.
3. Kết quả 3: Cho z₁, z₂, z₃ ∈ ℂ, số phức z thỏa mãn |z – z₁| = R. Khi đó: Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z₂z + z₃ là một đường tròn, tâm là điểm biểu diễn của số phức z₂z₁ + z₃, bán kính |z₂|.R.

Nhận xét và phân tích:

Các kết quả trên cho thấy, khi thực hiện các phép biến đổi số phức (nhân, chia, cộng, trừ) lên một số phức z nằm trên một đường tròn, tập hợp điểm biểu diễn của số phức kết quả thường vẫn là một đường tròn. Tuy nhiên, tâm và bán kính của đường tròn mới sẽ thay đổi theo một quy luật nhất định, liên quan đến các hệ số trong phép biến đổi và bán kính của đường tròn ban đầu.

Việc nắm vững các công thức này giúp chúng ta:

• Giải quyết nhanh các bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.
• Kiểm tra tính đúng đắn của kết quả.
• Phát triển tư duy hình học trong việc nghiên cứu số phức.

Tài liệu này là một công cụ hữu ích cho việc học tập và ôn luyện môn Toán, đặc biệt là phần số phức. Chúc bạn học tốt!