Chào mừng các em học sinh đến với bài học về vectơ trong không gian, một chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao. Bài học này tập trung vào việc hiểu rõ khái niệm vectơ, các phép toán vectơ và đặc biệt là điều kiện đồng phẳng của các vectơ.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các ví dụ minh họa giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
I. Khái niệm vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ (x; y; z). Vectơ a = (x; y; z) có điểm đầu là A(xA; yA; zA) và điểm cuối là B(xB; yB; zB) được tính bằng công thức: a = (xB - xA; yB - yA; zB - zA).
II. Các phép toán vectơ trong không gian
III. Điều kiện đồng phẳng của các vectơ
Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực α và β sao cho c = αa + βb. Một cách khác để kiểm tra điều kiện đồng phẳng là tính định thức hỗn tạp của ba vectơ. Nếu định thức hỗn tạp bằng 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Định thức hỗn tạp: [a, b, c] = a . (b x c) =
| x | y | z | 1 | |
|---|---|---|---|---|
| x1 | x1 | y1 | z1 | 1 |
| x2 | x2 | y2 | z2 | 1 |
| x3 | x3 | y3 | z3 | 1 |
IV. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3), b = (2; -1; 1), c = (3; 1; 4). Chứng minh rằng ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
Giải: Tính định thức hỗn tạp [a, b, c] =
| 1 | 2 | 3 | 1 | |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | -1 | 1 | 1 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 1 |
Ví dụ 2: Tìm α và β sao cho c = (5; 3; 2) = αa + βb, với a = (1; 1; 0) và b = (2; 1; -1).
Giải: Ta có hệ phương trình:
V. Bài tập luyện tập
Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về vectơ trong không gian và điều kiện đồng phẳng của các vectơ. Chúc các em học tốt!
