Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, quan hệ vuông góc trong không gian để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong không gian cho tam giác ABC.
Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.
Giải chi tiết:
Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)
hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O
tức là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)
đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)
Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
Giải chi tiết:
Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \)
Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)
Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian, sử dụng các định lý và tính chất đã học về vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Để giải Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chứng minh rằng đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình vuông và SA vuông góc với AD.
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên AD vuông góc với AB. Do SA vuông góc với AD và AD vuông góc với AB nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Ngoài SGK Hình học 11 Nâng cao, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Để học tốt môn Hình học, bạn cần:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trên, bạn sẽ tự tin giải quyết Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
