Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các chủ đề khác đã được học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Tìm các giới hạn sau :
\(\displaystyle \lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Và định nghĩa \(\lim \left( {{u_n} - L} \right) = 0\) thì \(\lim u_n=L\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\displaystyle {u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}\) \(\Rightarrow {u_n} - 2 = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}\)
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& \left| {{u_n} - 2} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right|= {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr} \)
\(\displaystyle \lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\displaystyle {u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1\) \( \Rightarrow {u_n} + 1 = \dfrac{{\sin 3n}}{{4n}}\)
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr} \)
\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n}\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right) \) \(\displaystyle = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1\)
\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(n\) và sử dụng giới hạn \(\lim \dfrac{1}{n} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \) \(\displaystyle = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}} \) \(\displaystyle = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = \lim \left( {\frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim 1 + \lim \frac{1}{{n + 1}}\\ = 1 + 0 = 1\end{array}\)
Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc các dạng bài tập liên quan đến việc áp dụng các kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Giả sử câu 5 trang 134 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm cấp một: y' = 3x2 - 6x.
Bước 3: Điểm tới hạn: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Bước 4: Tính đơn điệu:
Bước 5: Cực trị:
Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.
Bước 7: Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1.
Bước 8: Tính lồi lõm:
Bước 9: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Việc giải bài tập là một phần quan trọng trong quá trình học toán. Nó giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Bằng cách thực hành thường xuyên, học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó và đạt được kết quả tốt trong học tập.
Ngoài câu 5 trang 134, SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập khác liên quan đến khảo sát hàm số. Học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và đạt được kết quả tốt trong học tập.
