Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \)
Thì \(\overrightarrow {AG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AG} = {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 6}\)
Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c \)
\(= {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 3}\)
Vậy \(\overrightarrow {CG'} = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.
Bài tập 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học không gian, cụ thể là phần kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan đến:
Thông thường, bài toán 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng trong một hình chóp hoặc hình tứ diện cho trước. Đề bài có thể cung cấp các thông tin về độ dài cạnh, góc, hoặc mối quan hệ giữa các yếu tố hình học.
Để giải quyết bài toán này, có một số phương pháp thường được sử dụng:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giả thiết, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, SA vuông góc với AB và SA vuông góc với AD. Vậy, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Ngoài bài toán 3 trang 91, học sinh có thể gặp các dạng bài tập tương tự như:
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần lưu ý:
Để học tốt môn Hình học 11 Nâng cao, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng. Bằng cách nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự.
