Bài tập Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học Hình học lớp 11. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.
Đề bài
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.
Lời giải chi tiết
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC1 ⊥ AB (C1 là giao điểm của CH và AB), suy ra OC1 ⊥ AB. Như vậy \(\widehat {O{C_1}H}\) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).
Ta có: \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {O{C_1}H}\)
Mà \(\widehat {O{C_1}H} = \widehat {HOC}\) nên \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {HOC}.\)
Ta lại có : \(\cos \widehat {HOC} = {{OH} \over {OC}},{1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)
Từ đó : \(\cos \widehat {HOC} = {{ab} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)
Mặt khác \({S_{OAB}} = {1 \over 2}ab\)
Vậy \({S_{HAB}} = {{{a^2}{b^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)
Tương tự như trên, ta có :
\(\eqalign{ & {S_{HBC}} = {{{b^2}{c^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \cr & {S_{HAC}} = {{{c^2}{a^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \cr} \)
Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc chứng minh đẳng thức vectơ, xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, hoặc tính toán các yếu tố hình học dựa trên vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để giải quyết bài toán Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao, có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài toán Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chứng minh rằng với tam giác ABC, nếu G là trọng tâm thì GA + GB + GC = 0. Ta có thể giải bài toán này như sau:
Gọi A, B, C lần lượt là các vectơ vị trí của các điểm A, B, C. Khi đó, vectơ vị trí của trọng tâm G là:
OG = (OA + OB + OC) / 3
Suy ra:
GA = OA - OG = OA - (OA + OB + OC) / 3 = (2OA - OB - OC) / 3
GB = OB - OG = OB - (OA + OB + OC) / 3 = (2OB - OA - OC) / 3
GC = OC - OG = OC - (OA + OB + OC) / 3 = (2OC - OA - OB) / 3
Do đó:
GA + GB + GC = (2OA - OB - OC) / 3 + (2OB - OA - OC) / 3 + (2OC - OA - OB) / 3 = 0
Vậy, ta đã chứng minh được GA + GB + GC = 0.
Khi giải bài tập về vectơ, cần lưu ý những điều sau:
Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản, áp dụng các phương pháp giải phù hợp, và luyện tập thường xuyên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
