Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
a. Tính
Tính \(\sin {\pi \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi \over 8}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức
\(\sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \) \(= C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {1^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,: \cr & \sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \cr & = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi \over 8}} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right) \cr & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} \cr &= {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{và }\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{8}} \right) \cr &= \cos \left( {\frac{{3\pi }}{8} - x} \right) = \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) \cr & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \)
Bài toán Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc dạng bài tập ứng dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 (y = 2) và cực tiểu tại x = 2 (y = -2). Điểm uốn là (1, 0).
Để giải nhanh các bài toán khảo sát hàm số, bạn nên:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
