giaibaitoan.com - Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác - SGK Toán 11 Nâng cao

Trong chương trình Toán 11 Nâng cao, việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, đặc biệt là đạo hàm của các hàm số lượng giác. Bài 3 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm sin, cos, tan, và cot.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Đạo hàm của hàm số y = sinx:

Đạo hàm của hàm số y = sinx là y' = cosx. Công thức này được chứng minh dựa trên định nghĩa đạo hàm và giới hạn lượng giác.

2. Đạo hàm của hàm số y = cosx:

Đạo hàm của hàm số y = cosx là y' = -sinx. Tương tự như sinx, công thức này cũng được chứng minh bằng định nghĩa đạo hàm.

3. Đạo hàm của hàm số y = tanx:

Đạo hàm của hàm số y = tanx là y' = 1/cos²x = sec²x. Công thức này có thể được suy ra từ đạo hàm của sinx và cosx.

4. Đạo hàm của hàm số y = cotx:

Đạo hàm của hàm số y = cotx là y' = -1/sin²x = -csc²x. Công thức này cũng được suy ra từ đạo hàm của sinx và cosx.

II. Các công thức đạo hàm mở rộng

Ngoài các công thức đạo hàm cơ bản, chúng ta còn có các công thức đạo hàm mở rộng cho các hàm số lượng giác phức tạp hơn:

Đạo hàm của hàm số y = asin(x): y' = 1/√(1-x²)
Đạo hàm của hàm số y = acos(x): y' = -1/√(1-x²)
Đạo hàm của hàm số y = atan(x): y' = 1/(1+x²)
Đạo hàm của hàm số y = acot(x): y' = -1/(1+x²)

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 3sin(2x) + cos(x/2)

Giải:

y' = 3 * cos(2x) * 2 - sin(x/2) * (1/2) = 6cos(2x) - (1/2)sin(x/2)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tan²(x)

Giải:

y' = 2tan(x) * sec²(x)

IV. Ứng dụng của đạo hàm hàm số lượng giác

Đạo hàm của các hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
Kỹ thuật: Tính toán các đại lượng liên quan đến góc và độ cao.
Toán học: Giải các bài toán tối ưu hóa và tìm cực trị.

Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 Nâng cao và các chương trình học cao hơn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về đạo hàm của các hàm số lượng giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.