Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :
y = sin2x - 2cosx
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\) \( = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\)
\(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)
Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin x = 1} \cr {\sin x = -{1 \over 2}} \cr } } \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)
y = 3sin2x + 4cos2x + 10x
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\)
Vậy \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10 = 0 \) \(\Leftrightarrow 3\cos 2x - 4\sin 2x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\)
\( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over 5}\)
Thay vào (1), ta được :
\(\eqalign{ & \sin 2x\cos \alpha - \sin\alpha \cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha + {\pi \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
\(y = {\cos ^2}x + \sin x\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + cosx \) \(= cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\)
\(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { \cos x = 0 } \cr {1 - 2\sin x = 0 } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k\pi} \cr {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi } \cr } } \right. } \cr } } \right. \cr} \)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over 6} + k2\pi ;\) \(x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
\(y = \tan x + \cot x\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi \over 2} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\cr &\Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 4} + k\pi \cr &k \in \mathbb Z \cr} \)
Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và phân tích bài toán:
(Đề bài cụ thể của Câu 35 trang 212 sẽ được trình bày đầy đủ tại đây. Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.)
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + |
| x | -∞ | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y'' | - | + |
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý các bước sau:
Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như kinh tế, kỹ thuật, vật lý,... Ví dụ, trong kinh tế, việc khảo sát hàm số chi phí có thể giúp doanh nghiệp tối ưu hóa lợi nhuận.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc trên các trang web học toán online khác.
Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán điển hình để rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững các bước giải và hiểu rõ bản chất của bài toán sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
