Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}}\)
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử, khử dạng vô định và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } = {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \over {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \frac{{{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} - \left( { - \sqrt 2 } \right).\sqrt 2 + 2}}{{ - \sqrt 2 - \sqrt 2 }}\cr &= {{ - 3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x\left( {{x^3} - 27} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {2x + 3}} \cr & = \frac{{3\left( {{3^2} + 3.3 + 9} \right)}}{{2.3 + 3}}= 9 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {x + 4}} \cr & = \frac{{\left( { - 2 - 2} \right)\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} + 4} \right)}}{{ - 2 + 4}}= - 16 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} - \left( {1 - x} \right)} \over {{\sqrt {{x^2}\left( {1 - x} \right)} } }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} \left( {1 - \sqrt {1 - x} } \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - x} }}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{1 - \sqrt {1 - x} } \over {\left| x \right|}} \cr & = \frac{{1 - \sqrt {1 - 1} }}{{\left| 1 \right|}}= 1 \cr} \)
Câu 31 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và phân tích bài toán này:
Trước khi đi vào giải, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu của đề bài. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ (tập hợp tất cả các số thực).
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
f''(x) = 6x - 6
Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0:
6x - 6 = 0
x = 1
Tại x = 1, f''(x) đổi dấu, do đó x = 1 là điểm uốn. Giá trị tại điểm uốn là f(1) = 0.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 có:
Việc giải bài toán này giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách sử dụng đạo hàm để phân tích và vẽ đồ thị hàm số. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng cho các bài toán tối ưu hóa và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến việc kiểm tra tập xác định, tính đạo hàm chính xác và phân tích dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến. Việc vẽ đồ thị hàm số cũng là một bước quan trọng để kiểm tra lại kết quả.
