Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
a. Nếu
Nếu \(y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),\) trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì \(y" + {\omega ^2}y = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\text{ nên }\\y' = A\omega \cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - B\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\\y" = - A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) - B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\Suy\,ra\,:\\\,y" + {\omega ^2}y = - \left[ {A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)+B{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right]\\+ {\omega ^2}\left[ {A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + B\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right] = 0\end{array}\)
Nếu \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) thì \({y^3}y" + 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\y'' = \frac{{\left( {1 - x} \right)'\sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)'}}{{2x - {x^2}}}\\ = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}} \\= \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}}\\= \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{\left( {2x - {x^2}} \right)}}\\= \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\\Suy\,ra\,\\{y^3}.y" + 1 \\= \sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} .\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 \\= -1+1=0\end{array}\)
Bài 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Thông thường, bài toán Câu 48 trang 219 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Giả sử bài toán Câu 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao có nội dung như sau:
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải:
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:
Cho hàm số y = sin(x) trên khoảng (0; π). Hãy tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số là y' = cos(x). Hàm số đồng biến khi y' > 0 và nghịch biến khi y' < 0.
Trên khoảng (0; π), cos(x) > 0 khi 0 < x < π/2 và cos(x) < 0 khi π/2 < x < π.
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2) và nghịch biến trên khoảng (π/2; π).
Khi giải các bài toán về đạo hàm, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Câu 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
