Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, tập xác định và tập giá trị để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng
Đề bài
Cho các hàm số \(f(x) = \sin x,\) \( g(x) = \cos x,\) \( h(x) = \tan x\) và các khoảng
\({J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right);{J_2} = \left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right);\) \({J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right);{J_4} = \left( { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)\)
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \(J_1\) ? Trên khoảng \(J_2\) ? Trên khoảng \(J_3\) ? Trên khoảng \(J_4\) ? (Trả lời bằng cách lập bảng).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lí thuyết:
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\)
Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
+) \({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \({J_1}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_1}\).
\({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\pi ;2\pi } \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \({J_1}\)
+) \({J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \({J_2}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_2}\).
\({J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \left( { - \frac{\pi }{4};0} \right) \cup \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) chỉ đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) không đồng biến trên \({J_2}\)
+) \({J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right)\) \( = \left( {8\pi - \frac{\pi }{4};8\pi + \frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \({J_3}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_3}\), hàm số \(y = \cos x\) không đồng biến trên \({J_3}\)
+) \({J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right)\) \( = \left( { - 150\pi - \frac{{2\pi }}{3}; - 150\pi - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\) không đồng biến trên \({J_4}\), hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \({J_4}\)
Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :
Hàm số | J1 | J2 | J3 | J4 |
\(f(x) = \sin x\) | 0 | + | + | 0 |
\(g(x) = \cos x\) | + | 0 | 0 | + |
\(h(x) = \tan x\) | + | + | + | 0 |
Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng xác định tập xác định của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số, đặc biệt là điều kiện để hàm số có nghĩa.
Bài toán yêu cầu xác định tập xác định của hàm số được cho. Thông thường, các hàm số có thể gặp phải trong bài toán này bao gồm hàm số chứa căn bậc chẵn, hàm số chứa phân thức, hoặc hàm số chứa logarit. Mỗi loại hàm số sẽ có những điều kiện xác định riêng.
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: f(x) = √(2x - 1)
Bước 1: Đây là hàm số chứa căn bậc chẵn.
Bước 2: Điều kiện xác định là: 2x - 1 ≥ 0
Bước 3: Giải bất phương trình: 2x ≥ 1 => x ≥ 1/2
Bước 4: Tập xác định của hàm số là: D = [1/2, +∞)
Ngoài việc giải trực tiếp bài toán Câu 4 trang 14, học sinh cũng nên luyện tập các dạng bài tập tương tự để củng cố kiến thức. Một số dạng bài tập liên quan bao gồm:
Khi giải bài toán về tập xác định, học sinh cần chú ý:
Kiến thức về tập xác định của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, trong việc xây dựng mô hình toán học cho các hiện tượng thực tế, việc xác định tập xác định của hàm số là rất quan trọng để đảm bảo tính hợp lệ của mô hình.
Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình học. Bằng cách nắm vững kiến thức về hàm số và tập xác định, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự. Giaibaitoan.com hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể, bạn sẽ hiểu rõ hơn về bài toán này và đạt kết quả tốt trong học tập.
| Loại Hàm Số | Điều Kiện Xác Định |
|---|---|
| Hàm Căn Bậc Chẵn | Biểu thức dưới dấu căn ≥ 0 |
| Hàm Phân Thức | Mẫu số ≠ 0 |
| Hàm Logarit | Biểu thức trong logarit > 0 |
