Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và mối quan hệ giữa các vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Đề bài
Cho hai mặt phẳng vuông góc \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến \(Δ\). Lấy \(A, B\) cùng thuộc \(Δ\) và lấy \(C ϵ (P), D ϵ (Q)\) sao cho \(AC ⊥ AB, BD ⊥ AB\) và \(AB = AC = BD\). Xác định thiết diện của tứ diện \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(CD\). Tính diện tích thiết diện khi \(AC = AB = BD = a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định mp \((α)\) và tìm thiết diện
+ Tình diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết
+) Xác định mặt phẳng \((α)\) và thiết diện.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(AI ⊥ BC\) vì \(AC=AB\). (1)
Do \(BD ⊥ AB\) - là giao tuyến chung nên \(BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .\)
Trong \(mp(DCB)\), từ \(I\), kẻ \(IJ ⊥ CD (J ϵ CD)\)
\(\Rightarrow DC ⊥ AI \) và \(DC ⊥ IJ\)
\(\Rightarrow DC ⊥ (AIJ) \)
Vậy \(mp(AIJ)\) chính là mặt phẳng \((α)\) và thiết diện phải tìm là tam giác \(AIJ\).
+) Tính diện tích tam giác \(AIJ\)
Ta có: tam giác \(AIJ\) vuông tại \(I\) vì \( AI ⊥ (DBC) \subset IJ .\)
Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 a\)
Và \( AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
Lại có: \(\Delta CIJ\) đồng dạng với \(\Delta CDB\) (chung góc \(C\) và \(\hat J = \hat B = 90^0\))
\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}\)
Mà \(DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt 3 a\)
\( \Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
\( \Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thường thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Thông thường, bài toán Câu 25 trang 112 sẽ yêu cầu học sinh:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Khi giải các bài toán về vectơ trong không gian, cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Ngoài ra, hãy tham khảo các bài giải chi tiết trên giaibaitoan.com để hiểu rõ hơn về phương pháp giải.
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong không gian. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.
