Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[3]{{\frac{{\frac{{2{x^5} + {x^3} - 1}}{{{x^5}}}}}{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^3} + x}}{{{x^3}}}}}}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left( {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}}} \) \(\sqrt[3]{{\frac{{2 + 0 - 0}}{{\left( {2 - 0} \right)\left( {1 + 0} \right)}}}}\) \(= 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2\left| x \right| + 3}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}\cr & =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}= 2 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
\({x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0\)
Với mọi \(x ≤ -1\), \(x \ne - {3 \over 2}\)
\({{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \) \( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 2x} }}{{2x + 3}}\) \(= {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} \) \(= {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \) \( =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\) \(= \frac{{ - 1 + 2}}{{2 + 0}}= {1 \over 2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^4}}}}}{{\frac{{2{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^4}}}}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} \cr & = \sqrt {\frac{{0 + 0 + 0}}{{2 + 0 + 0}}} = 0 \cr} \)
Bài toán Câu 32 trang 159 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.
Trước khi đi vào lời giải, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
Việc phân tích đề bài giúp học sinh xác định được phương pháp giải phù hợp và tránh những sai sót không đáng có.
Dưới đây là một ví dụ về lời giải chi tiết cho một dạng bài tập thường gặp trong Câu 32 trang 159:
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Ngoài dạng bài tập khảo sát hàm số như trên, Câu 32 trang 159 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác, như:
Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các định lý, công thức và kỹ năng giải toán liên quan.
Để học toán hiệu quả và giải quyết các bài tập trong Câu 32 trang 159 một cách nhanh chóng, học sinh có thể áp dụng một số mẹo sau:
Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một phần quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan sẽ giúp học sinh tự tin đối mặt với các bài kiểm tra và kỳ thi. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải toán hiệu quả được trình bày trong bài viết này, các bạn học sinh sẽ học tập tốt hơn và đạt được kết quả cao trong môn toán.
