Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và mối quan hệ giữa các vectơ để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng
Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp(P)
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp(P). Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P).
Kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H ϵ BC) thì AH là đường cao của tam giác ABC và \(\widehat {AHA'} = \varphi ,A'H = AH\cos \varphi .\)
Ta có: \({S_{A'BC}} = {1 \over 2}BC.A'H \) \(= {1 \over 2}BC.AH\cos \varphi = {S_{ABC.cos\varphi }}\)
Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp(P). Xét mp(Q) chứa BC và song song với mp(P), gọi giao điểm của AA’ với mp(Q) là A1. Khi đó ta có ΔA1BC = ΔA’B’C’ ; góc giữa mp(ABC) và mp(Q) bằng φ.
Do đó : \({S_{A'B'C'}} = {S_{{A_1}BC}} = {S_{ABC }.\cos \varphi}\)
Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Ta có thể giả sử mp(P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng một phía đối với mp(P).
Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC và mp(P); B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D.
Khi đó theo trường hợp a ta có :
\(\eqalign{ & {S_{ADC'}} = {S_{ADC.\cos \varphi }} \cr & {S_{ADB'}} = {S_{ABD.\cos \varphi }} \cr} \)
Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta có :
\({S_{AB'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\)
Vậy mọi trường hợp ta đều có :
\({S_{A'B'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\)
Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc chứng minh các đẳng thức vectơ, xác định mối quan hệ giữa các điểm trong không gian, hoặc tính toán các yếu tố hình học dựa trên vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để cung cấp một lời giải cụ thể, chúng ta cần biết nội dung chính xác của câu 28. Tuy nhiên, dưới đây là một ví dụ về cách tiếp cận giải một bài toán vectơ thường gặp:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = 1/2overrightarrow{AB}.
Ngoài việc chứng minh đẳng thức vectơ, Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải nhanh và hiệu quả các bài toán vectơ, bạn nên:
Kiến thức về vectơ có ứng dụng rộng rãi trong Hình học không gian, bao gồm:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Hy vọng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài toán tương tự. Chúc bạn học tốt!
