Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào hai phép biến hình cơ bản: phép quay và phép đối xứng tâm. Đây là những công cụ quan trọng trong hình học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến đổi của các hình trong mặt phẳng.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay Q(O, α) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM' = α (α là góc quay, O là tâm quay).

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và M'(x'; y') là hai điểm tương ứng qua phép quay Q(O, α) với O(0; 0) thì:

x' = xcosα - ysinα
y' = xsinα + ycosα

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và M'(x'; y') là hai điểm tương ứng qua phép đối xứng tâm I(a; b) thì:

x' = 2a - x
y' = 2b - y

III. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay Q(O, 90°) với O là gốc tọa độ.

Giải:

x' = 1cos90° - 2sin90° = -2
y' = 1sin90° + 2cos90° = 1

Vậy A'(-2; 1).

Ví dụ 2: Cho điểm B(3; -1). Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép đối xứng tâm I(1; 0).

Giải:

x' = 2(1) - 3 = -1
y' = 2(0) - (-1) = 1

Vậy B'(-1; 1).

IV. Ứng dụng

Phép quay và phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Trong thiết kế họa tiết trang trí.
Trong việc mô tả các chuyển động của vật thể.
Trong việc giải các bài toán hình học.

Hi vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép quay và phép đối xứng tâm. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán!