Bài 5. Đạo hàm cấp cao

Bài 5 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc tìm hiểu về đạo hàm cấp cao của hàm số. Đạo hàm cấp cao là đạo hàm của đạo hàm, và quá trình này có thể lặp lại nhiều lần. Việc hiểu rõ về đạo hàm cấp cao là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình giải tích.

1. Khái niệm đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp nhất f'(x). Nếu f'(x) cũng có đạo hàm, ta gọi đạo hàm của f'(x) là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x). Tương tự, đạo hàm cấp ba của f(x) là đạo hàm của f''(x), ký hiệu là f'''(x), và cứ tiếp tục như vậy.

Tổng quát, đạo hàm cấp n của f(x), ký hiệu là f⁽ⁿ⁾(x), là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 của f(x).

2. Công thức tính đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản

Hàm số đa thức: Nếu f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀, thì f⁽ⁿ⁾(x) = 0 nếu n > n (bậc của đa thức).
Hàm số lượng giác:
- (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ/2)
- (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x + nπ/2)
Hàm số mũ:(e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x
Hàm số logarit:(ln x)⁽ⁿ⁾ = (-1)^n-1(n-1)! (1/x)ⁿ

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp cao

Để tính đạo hàm cấp cao của một hàm số phức tạp, ta thường sử dụng các quy tắc sau:

Quy tắc tích:(uv)⁽ⁿ⁾ = Σ_k=0ⁿ Cⁿ_k u^(k)v^(n-k)
Quy tắc thương:(u/v)⁽ⁿ⁾ (công thức phức tạp hơn, cần tra cứu)
Quy tắc chuỗi:y = f(g(x)) thì y⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾(g(x))g'(x) + ...

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 5
f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) = sin(2x).

Giải:

f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = -4sin(2x)
f'''(x) = -8cos(2x)

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x⁴ - 3x² + 2.
Bài 2: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) = e^-x.
Bài 3: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x) = cos(x).

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm cấp cao. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.