Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có :
Nếu \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]' \)
\( = \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!\frac{{ - \left( {{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left( {{x^{k + 1}}} \right)}^2}}} \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!.\frac{{\left( { - 1} \right).\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \) \( = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Vậy ta có đpcm.
Nếu \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)
Lời giải chi tiết:
Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x;f"\left( x \right) = - \cos x;\)
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\) \(\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)
Thật vậy, vì :
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x \\ \text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x\end{array}\)
Vậy ta có đpcm.
Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax\end{array}\)
Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) \) \(= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
Bài toán Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Hãy xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞).)
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán, giải thích rõ ràng và kết luận cuối cùng. Ví dụ:)
Bước 1: Tính đạo hàm
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm tới hạn
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định dấu của f'(x)
| Khoảng | x | f'(x) | f(x) |
|---|---|---|---|
| (-∞; 0) | -1 | 3(-1)2 - 6(-1) = 9 > 0 | Đồng biến |
| (0; 2) | 1 | 3(1)2 - 6(1) = -3 < 0 | Nghịch biến |
| (2; +∞) | 3 | 3(3)2 - 6(3) = 9 > 0 | Đồng biến |
Bước 4: Kết luận
Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!
