B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

Chương IV trong sách giáo khoa Toán 11 Nâng cao tập trung vào khái niệm giới hạn, một khái niệm nền tảng của Giải tích. B. Giới hạn của hàm số và hàm số liên tục là hai phần quan trọng nhất của chương này. Hiểu rõ hai khái niệm này sẽ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Khái niệm này được biểu diễn bằng ký hiệu lim_x→a f(x) = L, trong đó f(x) là hàm số, a là điểm mà x tiến tới, và L là giới hạn của hàm số tại điểm a.

Để tính giới hạn của hàm số, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số.
Phương pháp phân tích: Biến đổi biểu thức của hàm số để đơn giản hóa việc tính giới hạn.
Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đã biết, chẳng hạn như lim_x→0 sin(x)/x = 1.

2. Hàm số liên tục

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
Hàm số f(x) có giới hạn tại x₀.
Giới hạn của hàm số tại x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀, tức là lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

Hàm số liên tục có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số, chẳng hạn như tính đơn điệu, cực trị, và điểm uốn. Ngoài ra, hàm số liên tục cũng là điều kiện cần thiết để áp dụng nhiều định lý quan trọng trong Giải tích.

3. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về giới hạn của hàm số và hàm số liên tục thường yêu cầu học sinh:

Tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
Xác định xem một hàm số có liên tục tại một điểm hay không.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số.
Sử dụng khái niệm giới hạn và hàm số liên tục để giải các bài toán thực tế.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có thể phân tích biểu thức như sau: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2. Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 }. Hàm số này có liên tục tại x = 1 hay không?

Giải: Ta cần kiểm tra ba điều kiện của hàm số liên tục tại x = 1.

f(1) = 1² = 1.
lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1.
lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1.

Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số và hàm số liên tục, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chúc bạn học tập tốt!