Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}}\)
Lời giải chi tiết:
Dạng \({0 \over 0}\) ta phân tích tử và mẫu ra thừa số :
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + 2x + 4} \over {x + 2}} = 3 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = - \infty \cr} \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\) \(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ +}} \left( {x + 3} \right) = 0;\) \({\left( {x + 3} \right)} > 0,\forall x > - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = + \infty \cr} \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\) \(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0;\) \(x + 3 < 0, \forall x<-3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\)
Phương pháp giải:
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức \(\sqrt {{x^3} + 1} + 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3}} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = 0 \cr} \)
Bài toán Câu 38 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc dạng bài tập ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ lý thuyết và kỹ năng giải toán. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần phân tích đề bài một cách cẩn thận, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm.
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng xem lại đề bài chính xác:
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Phân tích đề bài, ta thấy yêu cầu chính là tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số đã cho. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
y = x^3 - 3x^2 + 2
y' = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm nghi ngờ là cực trịy' = 0 ⇔ 3x^2 - 6x = 0
⇔ 3x(x - 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xét dấu của y'Ta lập bảng xét dấu y':
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + |
Từ bảng xét dấu, ta thấy:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Bước 4: Tính tọa độ các điểm cực trịTại x = 0, y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2. Vậy điểm cực đại là (0; 2).
Tại x = 2, y = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Vậy điểm cực tiểu là (2; -2).
Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Để hiểu sâu hơn về các bài toán liên quan đến cực trị hàm số, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin đối mặt với các bài kiểm tra và kỳ thi.
Khi giải các bài toán về cực trị hàm số, bạn cần lưu ý một số điểm sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 38 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
